【以简驭繁】双斜率问题的齐次化处理——简化圆锥曲线运算的又一大利器！

数学教师的话语

众所周知的，解析几何题由于计算量太大，常常让人望而却步。实际上，做解析几何的题目并没有想象中的那么艰难，毕竟它的基本思想“几何问题代数化”是我们所熟知的，因此在解题时，只要紧抓基本思想不放松，过程虽艰难，但问题，总是会迎忍而解的。当然，为了避免计算量的问题，我们总是会在解题过程中想尽办法进行解法的优化，比如大家熟知的“点差法”，因为计算量非常小，就深为大家所喜爱。接下来给大家介绍另外一个小妙招“齐次化处理”，专门用于处理圆锥曲线中的“双斜率问题”。话不多说，例题为证！！！备注：“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。是微积分中一个比较常用的概念。它分为“齐次式”和“齐次方程”。齐次式：一个多项式中各个单项式的次数都相同的式子,我们称之为齐次式。例如：“x+3y+z”为一次齐次式；"x²+3xy+2y²"为二次齐次式齐次方程：方程中所有非零项的未知数的次数相同，我们称之为齐次方程。例如："x+2y-3z=0"为一次齐次方程；"x²+3xy+2y²=0"为二次齐次方程。

斜率不存在时，

可以通过验证的方式进行确认。

备注：通过图像平移建立二次齐次方程

平移后    坐标平移

解析专题

一点点的体会

通过以上解法，不难看出其共同点：通过将直线方程进行改造后，采取类似“1的替换”的作法，将二次曲线方程转化为“二次齐次式”，并通过齐次式的特征，将两变量统一化为斜率的形式，从而解决问题。这种方法，跨越了解析几何必须要联立方程组的环节，大大简化了其中的计算和化简过程，应该说是值得推广的。当然，我们也不能忽视了题目的共同特征：条件中都含有共点两直线间的斜率关系！否则，齐次化后的齐次式也将失去它的几何意义，而变的毫无价值。【来源】素人素言。

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