【七年级】数学 · 正方体块计算、展开图推断
写在前面
从开学至今，我们一直在接触代数，从有理数，到代数式，到方程，而从本章开始，我们开始接触几何，先从立体几何开始．
一、知识结构
1、组成几何图形最基本的元素是点、线、面．
2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体．
3、简单几何体的分类：
4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱．
5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱．
特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点．
6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面．
7、欧拉公式：顶点数（V）＋面数（F）－棱数（E）＝2．
8、翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小．
9、圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱．
相对面关系的快速判断方法：
(1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系．
(2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系．
10、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图．
11、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等．
二、典型例题
例1：
解析：
例2：
如图是一个正方体纸盒的表面展开图，其中的六个正方形内分别标有字“0”“1”“2”“5”和汉字“数”“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的是______．
解析：
根据如果几个面是连成一串的，隔一个面便是相对面的关系．
成“Z”字型的两头即为相对面的关系，可知“1”与“数”是相对面，
“2”与“学”是相对面，
“5”与“0”是相对面．
故填0．
例3：
一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（ ）．
解析：
根据所给出的图形和数字可得，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，
故选D．
三、思维拓展
例1：
如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是( )．
解析：
由原图可知，涂有颜色的面在侧面，而A、C还原后，有颜色的面在底面，故错误；
D选项还原时，最下方的正方形作为底面，则最下方的三角形与上方一排正方形中最左侧的一个重叠，故错误．
故选B．
例2：
由若干个边长为的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，则这个几何体的表面积是( )．
解析：
结合俯视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有2＋1＝3个小正方体，结合左视图和主视图，可以推测第二层应该有1个小正方体，如下图：
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是3＋1＝4个．
所以表面积为3×6＝18cm²．
故选B．
例3：
如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与点1重合的点是点_______．
我们可以把12，4，9所围成的面看作上面，12，11，9，10所围成的面看作前面，4，5，9，8所围成的面看作右面，则12与1下方的数字重合，5与3重合，8与10重合，6和2重合，7和11和1重合，9，4，12上方的数字不与其他数字重合．
故与点1重合的点是点7，11．
三、思维拓展
例4：
某长方体包装盒的侧面展开图如图所示，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种包装盒的体积．
解析：
例5：
如图所示的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是( )．
解析：
由题意得，这个正方体的表面展开图，三条粗黑线所在的面肯定不是相对的，而A选项有两个面上黑线且间隔排列，显然错误，
B选项中，左上角两个面若还原回去，两粗黑线无法相交，故也错误，
C选项中，如果把最下方的小正方形看作正面，则粗黑线的方向应该是左下角与右上角的点相连的对角线，故还错误，
故选D．
例6：
如图是一个正方体，它的每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，则可推出“？”处的数字是_______．
解析：
由图可知，与1相邻的面是2、3、4、5，
∴1与6是相对面，
∴与5相邻的是1、3、4、6，
故2与5是相对面，
∴3与4是相对面，
由第一幅图可知，3在后，将正方体向前翻90度，则3 在上，1 在右，6在左，再将正方体逆时针旋转90°，则6在前．
由第二幅图可知，5在后，将正方体顺时针旋转90°，则5在右，1 在上，6在下，再将正方体向后翻90度，则6在前．
故答案为6．
例7：
在桌上摆有一些大小相同的正方体木块，其从正面看和从左面看到的图形如图所示，则要摆出这样的图形至少需要______块正方体木块，至多需要_______块正方体木块．
解析：
由主视图、左视图可得，下面一层最少有4×1=4块正方体，最多有4×3=12块正方体；上面一层最少有2×1=2块正方体，最多有2×2=4块正方体，故总共至少需要6块正方体，至多需要16块正方体．
故答案为：6；16
为方便同学理解，将俯视图角度下，每个位置的木块数标上，方便大家理解．
最少6块；
最多16块。
本讲思考题
图(1)是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图(2)所示位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上一面的字是_______．
本期答案：
拓
展
资
源
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