【数学故事】数学文化|《九章算术》第1讲 何为九章？

前面我们更新了两篇文章：

文中都提到了《九章算术》的少广章，笔算开方术。那么《九章算术》这本书都讲了什么呢？今天，杨老师跟大家一起分享这篇文章。

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《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。不仅如此，它在数学上还有其独到的成就，不光最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。而作为一本综合性的历史著作，《九章算术》是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系。作为一部世界数学名著，它早在隋唐时期已传入朝鲜、日本，被译成日、俄、德、法等多种文字版本。

数学两大经典：欧几里得的《几何原本》，刘徽注的《九章算术》。

这样一本伟大的数学著作，其具体作者已经无从考证。一般认为，它经过了历代各家的增补修订，才逐渐成为现今定本的。西汉的张苍、耿寿昌都曾经做过增补和整理。

据《史记》记载，张苍曾在秦朝时掌管过图书，西汉时又当过大官，耿寿昌在汉宣帝期间又当过掌管农业、水利的大司农。基于这两个人的特殊身份与地位，他们删补校订算书一定是以实用为宗旨、以培养行政官吏和教习官宦子弟为目的。从近年发现的竹简算书《算数书》看出，它也是采用问题集的形式，并按照算法将问题分类，分类的小标题有“增减分”、“相乘”、“合分”、“经分”、“里田”、“程禾”等60多个，其中大部分算法术语，都出现在后来的《九章算术》之中。因此，研究推测《算数书》很可能是《九章算术》的取材来源之一．《九章算术》就是在这类算书的基础上经过多人之手，不断补充、修改、增订而逐步形成的，遵循了文化发展的传统性理论。

三国时期的大数学家刘徽在《九章算术注序》中说：“往昔暴秦焚书，经术散坏。自时厥后、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。”这段话表明，在秦朝以前已有算书流传，但因受秦始皇暴政浩劫而散失，后来张苍和耿寿昌等收集了旧算书的残篇，进行过删补的工作。而我们现在看到的，大多是刘徽为《九章》所作的注本，他也为本书做出了重要的缉补与阐释。

 

《九章算术》成书于一千多年以前，自然与我们现在通行的数学论著大相径庭，其形式按照问题展开，共有246个问题，按照不同算法分为九章，每章所含的问题不等，大致按照由简到繁的次序排列。

第一章“方田”，问题38个，主要讲平面几何图形面积（土地面积）的计算方法。本章包括长方形（直田）、等腰三角形（圭田）、直角梯形（邪田）、等腰梯形（箕田）、圆（圆田）及圆环（环田）等的面积公式。

第二章“粟米”，问题46个，主要讲各种粮食折算的比例问题。所用方法称为“今有术”，即在成比例的四个数中，根据三个已知数求出第四个数的算法。

第三章“衰分”，问题20个，衰分是按比例递减分配的意思。本章主要讲按比例分配物资或按一定比例摊派税收的比例分配问题，其中含等差数列、等比数列问题，但都用比例方法解决。

第四章“少广”，问题24个，主要讲已知正方形面积或立方体体积反求边长，即开平方或开立方的方法。此外还给出了由圆面积求周长，由球体积求直径的近似公式，但因取圆周率为3，所以精确度不高。

第五章“商功”，问题28个，主要讲各种形体的体积计算公式。其中的问题大都来源于营造城垣、开凿沟渠，修造仓窖等实际工程，涉及的几何形体有长方形、柱体、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、楔形体等。

第六章“均输”，问题28个，均输意为按人口多少、路途远近和谷物贵贱合理摊派税收和劳役等。本章主要讲以赋税计算和其他应用问题为中心的较为复杂的比例问题的计算方法。

第七章“盈不足”，问题20个，是以盈亏问题为中心的计算方法。

第八章“方程”，问题18个，讲线性方程组问题的解法，并提出了关于正负数加减运算的“正负术”。

第九章“勾股”，问题24个，主要讲勾股定理的应用和测量问题，以及勾股容方和容圆问题的解法。

  

筹算演算

遗憾的是，《九章算术》依然存在一些缺陷：注重数值计算，忽视抽象概念，因而不利于发展严密的逻辑体系；缺乏适用的数学符号，未能建立起符号体系；筹算本身的局限性。与欧几里得的《几何原本》对比可以看到，《几何原本》是公理化的数学系统；《九章算术》是基于实际问题的解决方案。尽管中国古代最伟大的数学家刘徽在263年就完成了《九章算术》的注解工作，独力建立了一套证明体系，但这仍然不是“公理”体系，没有明确地列出公理。更可遗憾的是，刘徽之后的中国数学家大多没有学到他的这套思维方法，只学到了他的一些具体成果，因此，中国古代数学家大都没有认识到刘徽的伟大，对刘徽的推崇是从现代才开始的。相比之下，西方一直都把欧几里得奉为最伟大的数学家之一。《几何原本》有一套自己的逻辑体系，可理解程度、易于教育的程度和易于扩展的程度跟前者不可同日而语。所以，《几何原本》即使在欧洲失传几百年，一旦从阿拉伯人手里得到，欧洲人立刻就学会了，而《九章算术》与很多其他中国数学书籍都面临后人不易理解、失传的危险。

虽然《九章算术》对中国及世界数学产生了巨大作用，但随着社会发展及世界数学文化交流的需要，《九章算术》不能完全满足生产和生活的需要。数学家们继承了古代数学的光辉传统，在东西方数学融合铸成的牢固数学基础上开始了前所未有的创造性劳动，数学符号体系的完善、抽象概念的形成，严密逻辑体系的建立，各项数学分支如雨后春笋般破土而出，使数学发展步入新的繁荣时期。前辈筚路蓝缕之功，我辈应当铭记，也应是我们发奋的动力。

今天的分享就到这里，明天继续~

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