2016-2017年度福建厦门九上期末质检部分试题（压轴）选解

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2016·厦门九上期末质检

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16.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD上的动点，且AE＋AF＝a，则线段EF的最小值为           . 

24.在⊙O中，点C在劣弧AB上，D是弦AB上的点，∠ACD＝40°.

（1）如图1，若⊙O 的半径为3，∠CDB＝70°，求弧BC的长；

（2）如图2，若DC的延长线上存在点P，使得PD＝PB，试探究∠ABC与∠OBP的数量关系，并加以证明.

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【图文解析】

（1）首先，不难得到：

（2）法一：连接OC，如下图示：

设∠CAB＝α，∠ABC＝β，∠OBA＝γ，

      由OB＝OC，得：

　　β+γ＝0.5(180⁰-2α) ＝90⁰－α，

所以∠ABC+∠OBP＝β+∠PBD+γ

　　＝β+∠PDB+γ＝β+40⁰+α+γ

　　＝β+γ+40⁰+α

　   ＝90⁰－α+40⁰+α=130⁰

      因此∠ABC+∠OBP＝130⁰.

法二：作直径BM，如下图示：

设∠CAB＝α，∠ABC＝β，∠OBA＝γ，

      因BM是是⊙O的直径，所以∠MAB＝90⁰，又因为四边形ACBM是圆内接四边形，得到α+90⁰+β+γ＝180⁰，得到α+β+γ＝90⁰，因此∠ABC+∠OBP＝β+∠PBD+γ＝β+∠PDB+γ＝β+40⁰+α+γ＝90⁰+40⁰ =130⁰，故∠ABC+∠OBP＝130⁰.

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25.已知y₁＝a₁(x－m)²＋5，点(m，25)在抛物线y₂＝a₂ x²＋b₂ x＋c₂上，其中m＞0.

（1）若a₁＝－1，点(1，4)在抛物线y₁＝a₁(x－m)²＋5上，求m的值；

（2）记O为坐标原点，抛物线y₂＝a₂x²＋b₂x＋c₂的顶点为M．若c₂＝0，点A(2，0)在此抛物线上，∠OMA＝90°求点M的坐标；

（3）若y₁＋y₂＝x²＋16 x＋13，且4a₂c₂－b₂²＝－8a₂，求抛物线y₂＝a₂ x²＋b₂ x＋c₂的解析式.

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【简析】

（1）依题意，得y₁＝－(x－m)²＋5.将点(1，4)代入，可解得m₁＝0（舍去），m₂＝2 .即m的值为2.

（2）由“c₂＝0，点A(2，0)在此抛物线上”可得：4a₂＋2b₂＝0.即b₂＝－2a₂.所以y₂＝a₂x²－2a₂x＝a₂(x－1)²－a₂，得到顶点M（1，a₂），如下图示：

由∠OMA＝90°不难得到M（1，1）或（1，－1）.

（3）首先，由“点(m，25)在抛物线y₂＝a₂ x²＋b₂ x＋c₂上”得：当x=m时，y₂＝25；由“y₁＝a₁(x－m)²＋5”知：当x=m时，y₁＝5；因此当x=m时，y₁＋y₂＝5＋25＝30.

      另一方面，由“y₁＋y₂＝x²＋16 x＋13”知，当x=m时，y₁＋y₂＝m²＋16 m＋13.

      所以m²＋16 m＋13＝30.

      解得：m₁=1，m₂=－17(因m>0，舍去)

      所以y₁＝a₁(x－1)²＋5，

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