九上期末质检复习系列——纯函数系列（5）

Original 2018-01-13 永泰一中　张祖冬 初中数学延伸课堂

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（本系列有两道题，其中第一道是“新定义“式的纯函数题，较易）

【试题1】定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

（1）写出函数y=﹣x²+3x﹣2的“旋转函数”；

（2）若函数y=﹣x²+4/3mx﹣2与y=x²﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁸的值；

（3）已知函数y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”

【解析】（1）直接根据“旋转函数”的定义求出a₂，b₂，c₂，从而得到原函数的“旋转函数”；具体过程如下：

∵a₁=﹣1，b₁=3，c₁=﹣2，

∴﹣1+a₂=0，b₂=3，﹣2+c₂=0，

∴a₂=1，b₂=3，c₂=2，

∴函数y=﹣x²+3x﹣2的“旋转函数”为y=x²+3x+2.

（2）根据“旋转函数”的定义得到4/3m=﹣2n，﹣2+n=0，解之即可求出m和n的值，然后代入计算即可.过程如下：

根据题意得4/3m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，所以（m+n）²⁰¹⁸=（﹣3+2）²⁰¹⁸=1.

（3）先求出原抛物线与x轴的交点坐标：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），再根据关于原点对称的点的坐标的特征得到A₁（1，0），B₁（﹣4，0），C₁（0，﹣2），则可得到经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=0.5（x﹣1）（x+4）=0.5x²+1.5x﹣2，再把原抛物线y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）化为一般式y=-0.5x²+1.5x+2，然后根据“旋转函数”的定义不难得到：两二次函数是互为“旋转函数”．具体过程如下：

证明：当x=0时，y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），

当y=0时，﹣0.5（x+1）（x﹣4）=0，解得x₁=﹣1，x₂=4，则A（﹣1，0），B（4，0），

∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，

∴A₁（1，0），B₁（﹣4，0），C₁（0，﹣2），

设经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=a₂（x﹣1）（x+4），把C₁（0，﹣2）代入得a₂•（﹣1）•4=﹣2，解得a₂=0.5，

∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=0.5（x﹣1）（x+4）=0.5x²+1.5x﹣2，

而y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）=﹣0.5x²+1.5x+2，

∴a₁+a₂=﹣0.5+0.5=0，b₁=b₂=1.5，c₁+c₂=2﹣2=0，

∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．

【反思】理解 “新定义”的概念，并能根据“新定义”进行应用.

【试题2】如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．

（1）求a，b，c的值；

【解析】（1）设y=a（x﹣1）²+2，将（0，3）代入，得a=1，所以y=（x﹣1）²+2，即y=x²﹣2x+3，所以a=1，b=﹣2，c=3.

（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．

①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；

②请在二次函数y=ax²+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；

【解析】由于k的取值只与解析式中“k（2x+2）的值“有关，因此可考虑当2x+2=0(即x=－1)时的情况.而当x=－1时，函数y=ax²+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）的值相反（分别为6和－6），对应的函数图象上点M，N恰好关于x轴对称。因此不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，可得M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）.

③过点M的直线y=﹣3/4x+t与抛物线y=ax²+bx+c交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？（点D 是函数y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）（k为实数）的图象的顶点）

【解析】将点M（﹣1，6）代入y=﹣3/4x+t，得t=21/4，得到函数解析式为y=﹣3/4x+21/4，得直线与x轴的点A（7，0）.

下面利用角平分线的相关性质求出∠NMP的角平分线的解析式（方法多种，仅选用常用的一种）

如下图示，过M点作ME⊥x轴于点E. 设MD交x轴于点B，作BC⊥AM于点C.

∵ME⊥x轴，∴E点的横坐标为﹣1，

∴AE=8，∵ME=6，∴MA=10．

（进一步，通过可配方得到点D的坐标.）

∵y= ax²+bx+c＝x²﹣2x+3

∴y=k(2x+2）-(ax²+bx+c)

=-[x﹣(k+1)]²+(k+1）²+2k﹣3

＝-[x﹣(k+1)]²+k²+4k﹣2．

得顶点D（k+1，k²+4k﹣2）.

最后根据点的坐标特征，可得到：点D在∠NMP的平分线MD（y=﹣2x+4）上时，代入y=﹣2x+4．

④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？

【解析】（本题有多种解题思路，可参考之前的相关文章，本文仅提供一种）

由（3）知，抛物线的顶点D的坐标为（k+1，k²+4k﹣2）.不妨设x_D=k+1, y_D=k²+4k﹣2.

由x_D= k+1得k= x_D-1，代入y_D=k²+4k﹣2，得：

y_D=(x_D-1)²+4(x_D-1)﹣2

=x_D²+2x_D－5.

所以可得顶点横、纵坐标满足y_D=x_D²+2x_D－5，根据”点的坐标和图象的意义“，结合”点动成线“知：随着k的取值不同，所有的顶点组成的图象应是抛物线y=x²+2x－5＝（x+1）²－6，因此：当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．

【反思】注意其中特殊点的特殊意义以及对“函数图象、点动成线“概念的理解．

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（下面是刚开始写的文章，标题命名不够详细）

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