2018年九下质检系列——福建石狮倒二题

---

声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！

建议阅读：如何快速查找到“初中数学延伸课堂”的相关文章（直接点击打开）.

打开微信，点击“发现”，点击“搜索”，再点击“资讯(或文章）（这一步骤最重要）“，在跳出的对话框中输入“初中数学延伸课堂”，然后点击“初中数学延伸课堂”，继续输入“关键词”（如：福州），再点击“搜索”，就会得到所有标题或内容中含”福州“的文章，类似于“百度”搜索.

几何画板教学视频免费教程（622分钟）：关注公众号（扫描上述二维码）后，输入“1”就可得到学习地址（需手机注册——免费）

（2018·福建石狮九下质检倒二）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E，F分别是线段BD，BC上的点，∠AEF＝90⁰，线段AF与BD交于点H.

（1）当AE＝AB时.

      ①求证：FB＝FE；②求AH的长；

（2）求EF长的最小值.

【图文解析】

（1）当AE＝AB时，如下图示：

①通过“HL”不难证明△ABF≌△AEF，从而得到FB＝FE.

②由AB＝AE和FB＝FE可得：A、F均在线段BE的垂直平分线上，因此有AF⊥BD，图中又有最常见的基本图形——直角三角形斜边上的高，具体位置如下图示：

       因此求AH的长有多种解法（本质类似——面积、三角函数、相似、勾股）.

最快解法：由S_△ABD＝0.5AB×AD＝0.5BD×AH，得AH＝（AB×AD）/BD＝……＝（4√5）/5.

最优解法：由sin∠ABD＝AH/AB＝AD/BD，……，

相似法——类似于“三角函数定义”解法：通过△ABH∽△DBA，得到AH/AB＝AD/BD，……，（在直角三角形中，“相似与三角函数定义法”是一家.

最麻烦的解法：用了三次勾股定理（但八年级学生可做），与上一篇文章（2018年九下质检系列——福建晋江倒二题）类似，这里略去，有兴趣的朋友可以直接点击打开.

---

---

（3）这是一道基本的“旋转相似“题，本公众号的文章中已有多题，有兴趣的朋友可用以下操作，找到类似的所有文章：

（打开微信，点击“发现”，点击“搜索”，再点击“资讯(或文章）（这一步骤最重要）“，在跳出的对话框中输入“初中数学延伸课堂”，然后点击“初中数学延伸课堂”，继续输入“旋转相似”，再点击“搜索”，就会得到所有标题或内容中含”旋转相似“的文章，类似于“百度”搜索，如下图示.)

本公众号的其他文章搜索也是如此.）

---

       显然有无数多种解法，任意找一个特殊位置，构造“旋转相似“均可得解。

先观察动态演示：

      为了下面个别证法的证题需要，可先证：A、B、F、E四点在同一圆上，如下图示：

下面例举三个特殊位置求解：

法一：如下图示，

      得到：△AEF∽△ABG，得到AE：EF＝AB：BG＝2：1，得到EF＝0.5AE，因此当AE最小（即在上题中的H点位置，此时AE＝（4√5）/5）时，EF最小，最小为（2√5）/5.

法二：如下图示，

法三：如下图示，

由于图中有较多的直角，尤其是∠AEF为直角，当然更可以利用“直角“的常用辅助线（也同样有多种解法，可构成”矩形弦图“，有兴趣的朋友可参考本公众号的”2017年福建倒二“的解析，可直接点击标题打开）进行解决，下面仅提供两种解法（及参考答案中的解法，其实都一样），如下图示：

      其他解法，不逐个说明，有兴趣的同学，可能打开本公众号中的“适合三个年级上学期的尖子生培优系列(5)“中的初二年级部分（可直接打开标题阅读）.

---

---

(别忘了给作者一个鼓励，点个赞哦！)

特别说明：进入公众号，回复“1,2,3…14,888”中的任意一个”数“，可查找到相应资料.

---

强烈推荐：