平行线的判定和性质(3)——平行四边形（3）——尖子生之路[八下系列]
推荐阅读:
（一本类似于字典式的压轴题解析工具书，分类具体细致（含知识点详细目录），查找题型如同查字典；一本画给你看的书，有图有真相，思路方法自然生成;一本厚而实（内含294道压轴题）的课外数学读物;一本一线教师多年教学经历的结晶而成的实用且可操作性强的书;一本值得有理想和上进的师生拥有的集思路和方法于一体的书！…，感谢你关注本书！）
2.(同样适用于平时的期中期末月考等考试，及早适应及早信心足！）
强调:如果你想学几何画板，请关注本公众号,进入后,输入"1",即可获得本人录制的622分钟免费视频教程观看地址.
平行线的判定和性质(3)
——平行四边形（3）
【例1】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
(1)求证：PA=PC．
(2)若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．
【分析】想方设法将条件“AP+AE=CP+CF”转化为两线段相等（这是常法、通法），为此：可在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，连接ME、NF、EN、FM，可得PN=PM，如下图示：
根据“对角线互相平分的四边形是平四边形”可证得：四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，进一步地可证得△EAM≌△FCN，得到AM＝CN，所以AE＝CF，又AP+AE=CP+CF，因此PA=PC；如下图示：
(2)由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，进一步可证△PAD≌△PCB，得PD＝PB，又因PA＝PC，所以四边形ABCD为平行四边形（方法多种，只提供其中一种），如下图示，
由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，再利用平行四边形的面积公式，不难求得四边形ABCD的面积，如下图示：
在Rt△ADG中，由勾股定理可求得DG＝6√3，因此（平行）四边形ABCD的面积为15×6√3＝90√3．
具体过程如下：
(1)证明：如下图示：
在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．
∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．
∵PE=PF，∴EMFN是平行四边形．
∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．
又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，
在△AME和△CNF中，
∴△EAM≌△FCN，∴AM=CN．
∵PM=PN，∴PA=PC．
(2)解：如下图示，
∵PA=PC，EP=PF，
∴AFCE为平行四边形．
∴AE∥CF．
∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，
在△APD和△CPB中，
∴△PAD≌△PCB．∴DP=PB．
又由(1)知PA=PC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，
……（省略），得到DG＝6√3.
因此（平行）四边形ABCD的面积为15×6√3＝90√3．
【反思】解题的关键是想方设法将条件“AP+AE=CP+CF”转化为通常的两线段相等(常法、通法)．
下面是本人主编或编著的书(点击书名，打开对应书籍的相关说明、目录与样章)：
购买渠道:"微店"(打开相关文章，扫描文中的二维码进店购买).
提醒：任何淘宝网均无授权销售，请朋友们认清购买渠道．
请分享转发给需要的朋友，谢谢！
【拓展1】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且PA=PC．
(1)求证：AE=CF．
(2)若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．
【提示】(1)与原题类似,(2) 90√3.
【拓展2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=3，BC=6．求平行四边形ABCD的面积．
【提示】由▱ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由BC=6，得到∠BCA=30°，∠BAC=90°，最后根据S▱ABCD=AB•AC进行计算即可．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°．
∴△ABE是等边三角形．
∴AE=AB=BE=3．
∵BC=6，∴CE=3=AE．
∵∠AEB=60°，∴∠BCA=30°．
∴∠BAC=90°，
∴Rt△ABC中，AC=…＝3√3．
∴S▱ABCD=AB•AC=3×3√3=9√3．
[相关文章]
中考压轴题复习教学体会系列
7.
你的点赞和分享，就是给予我信心和动力！
扫描下列二维码，关注本公众号，进入后，
输入"book"或"样章"或"教辅"(均不含双引号)可得到本人主编和编著的相关书籍的详细编写说明、目录和样章.
输入"尖子生"或"培优系列"(均不含双引号)可得到相应的"尖子生之路"和"培优系列"各个按年级汇总的所有文章.
输入"搜索文章"可得到如何快速查找本公众号的文章（如同百度搜索，方便快捷！）……
输入"abcd"可得到：所有关键词与对应的输出结果（陆续更新中）
您的点赞是对我的鼓励和肯定，
您的分享和转发是我坚持的信心和动力！