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平行线的判定和性质(5)——平行四边形(5)——尖子生之路[八下系列]

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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平行线的判定和性质(5)

——平行四边形(5)


【例1】求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

【分析】这是一个”文字题”的证明题,必须有四个步骤:画图、已知、求证、证明.先根据题意画图形,写出已知、求证.

【图文解析】

已知,如图:在平行四边形ABCD中,AC,BD是其两条对角线,  求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.

  

    要证的是线段平方间的等量关系,根据目前所学的内容,只要勾股定理,才有这样类似的结论,因此必须添加“垂线”得到“直角三角形”,为此:可作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于F,如下图示:

   

   根据平行四边形的性质,可说证得:△ABE≌△DCF,得出AE=DF,BE=CF,同时有:AB=CD,AD=BC.

    

  然后在Rt△ABE和Rt△DCF中,根据勾股定理可得:

AC2=AE2+EC2=AE2+(BC﹣BE)2

BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2

=AE2+(BC+BE)2

从而得到:

AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2

=2(AE2+BE2)+2BC2

又因AE2+BE2=AB2

因此AC2+BD2=2(AB2+BC2)

 进一步地根据平行四边形的性质即可得到所要证的结论.

具体过程如下:


【解】已知,如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD是其两条对角线,求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.

证明:作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于F,如图示.

则∠AEB=∠DFC=90°.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=DC,AB∥CD,

∴∠ABE=∠DCF,

∴△ABE≌△DCF,

∴AE=DF,BE=CF.

      在Rt△ACE和Rt△BDF中,由勾股定理,得:

AC2=AE2+EC2=AE2+(BC-BE)2

BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2

=AE2+(BC+BE)2

∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2

=2(AE2+BE2)+2BC2

又∵AE2+BE2=AB2

即AC2+BD2=2(AB2+BC2).

∵AB=CD,AD=BC,

∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2

【反思】这是一个文字命题的证明题,先根据题意画出图形,写出已知、求证、证明过程.此题主要考查学生对勾股定理,平行四边形的性质的理解和掌握.解题的关键构造直角三角形.



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【法二】当然也可用下面的方法来解

(注意体会用设元法给证明带来的方便)

      过D点作DF∥AC交BC的延长线于F,再过D点作DM⊥BF于M, 

则有:


【拓展1】若平行四边形ABCD的对角线AC=8,BD=16,且AC与BD相交得到一个锐角为300,求平行四边形的面积.

【拓展2】若四边形ABCD的对角线AC=8,BD=16,且AC与BD相交得到一个锐角为300,求平行四边形的面积.

【答案】两题答案均为32.

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