平行线的判定和性质(5)——平行四边形(5)——尖子生之路[八下系列]
推荐阅读:
(一本类似于字典式的压轴题解析工具书,分类具体细致(含知识点详细目录),查找题型如同查字典;一本画给你看的书,有图有真相,思路方法自然生成;一本厚而实(内含294道压轴题)的课外数学读物;一本一线教师多年教学经历的结晶而成的实用且可操作性强的书;一本值得有理想和上进的师生拥有的集思路和方法于一体的书!…,感谢你关注本书!)
2.(同样适用于平时的期中期末月考等考试,及早适应及早信心足!)
强调:如果你想学几何画板,请关注本公众号,进入后,输入"1",即可获得本人录制的622分钟免费视频教程观看地址.
平行线的判定和性质(5)
——平行四边形(5)
【例1】求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
【分析】这是一个”文字题”的证明题,必须有四个步骤:画图、已知、求证、证明.先根据题意画图形,写出已知、求证.
【图文解析】
已知,如图:在平行四边形ABCD中,AC,BD是其两条对角线, 求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.
要证的是线段平方间的等量关系,根据目前所学的内容,只要勾股定理,才有这样类似的结论,因此必须添加“垂线”得到“直角三角形”,为此:可作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于F,如下图示:
根据平行四边形的性质,可说证得:△ABE≌△DCF,得出AE=DF,BE=CF,同时有:AB=CD,AD=BC.
然后在Rt△ABE和Rt△DCF中,根据勾股定理可得:
AC2=AE2+EC2=AE2+(BC﹣BE)2,
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2
=AE2+(BC+BE)2.
从而得到:
AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2
=2(AE2+BE2)+2BC2.
又因AE2+BE2=AB2,
因此AC2+BD2=2(AB2+BC2)
进一步地根据平行四边形的性质即可得到所要证的结论.
具体过程如下:
【解】已知,如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD是其两条对角线,求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.
证明:作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于F,如图示.
则∠AEB=∠DFC=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥CD,
∴∠ABE=∠DCF,
∴△ABE≌△DCF,
∴AE=DF,BE=CF.
在Rt△ACE和Rt△BDF中,由勾股定理,得:
AC2=AE2+EC2=AE2+(BC-BE)2,
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2
=AE2+(BC+BE)2.
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2
=2(AE2+BE2)+2BC2.
又∵AE2+BE2=AB2,
即AC2+BD2=2(AB2+BC2).
∵AB=CD,AD=BC,
∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.
【反思】这是一个文字命题的证明题,先根据题意画出图形,写出已知、求证、证明过程.此题主要考查学生对勾股定理,平行四边形的性质的理解和掌握.解题的关键构造直角三角形.
下面是本人主编或编著的书(点击书名,打开对应书籍的相关说明、目录与样章):
购买渠道:"微店"(打开相关文章,扫描文中的二维码进店购买).
提醒:任何淘宝网均无授权销售,请朋友们认清购买渠道.
请分享转发给需要的朋友,谢谢!
【法二】当然也可用下面的方法来解
(注意体会用设元法给证明带来的方便)
过D点作DF∥AC交BC的延长线于F,再过D点作DM⊥BF于M,
则有:
【拓展1】若平行四边形ABCD的对角线AC=8,BD=16,且AC与BD相交得到一个锐角为300,求平行四边形的面积.
【拓展2】若四边形ABCD的对角线AC=8,BD=16,且AC与BD相交得到一个锐角为300,求平行四边形的面积.
【答案】两题答案均为32.
[相关文章]
中考压轴题复习教学体会系列
7.
你的点赞和分享,就是给予我信心和动力!
扫描下列二维码,关注本公众号,进入后,
输入"book"或"样章"或"教辅"(均不含双引号)可得到本人主编和编著的相关书籍的详细编写说明、目录和样章.
输入"尖子生"或"培优系列"(均不含双引号)可得到相应的"尖子生之路"和"培优系列"各个按年级汇总的所有文章.
输入"搜索文章"可得到如何快速查找本公众号的文章(如同百度搜索,方便快捷!)……
输入"abcd"可得到:所有关键词与对应的输出结果(陆续更新中)
您的点赞是对我的鼓励和肯定,
您的分享和转发是我坚持的信心和动力!