2019年上海中考解答压轴（三角形与相似）——直线型静态几何系列｜压轴试题解析

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中考解答压轴(三角形与相似)

(2019·上海)如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═0.5∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出S_△ADE/S_△ABC的值．第一问
【图文解析】（1）如下图示，由三角形的外角性质，得∠1＝∠2+∠3＝0.5（∠ABC+∠BAC）＝0.5（180°－∠C）＝90°－0.5∠C.由AE⊥AD，得∠E＝90°－∠1＝0.5∠C.即∠E═0.5∠C．第二问
(2019·上海)如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
【图文解析】 如下图，延长AD交BC于点F，易证AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，且△BDF∽△EDA，得BF：AE＝BD：DE＝2：3．设BF＝2k，AE=3k，则AB＝AE＝3k，在Rt△ABF中，得cos∠ABC＝BF/AE＝2/3．
第三问 (2019·上海)如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出S_△ADE/S_△ABC的值．
【图文解析】当△ABC与△ADE相似时，因∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°，由于∠ABC是锐角，得∠ABC≠90°．下面分两种情况：情况一：当∠BAC＝90°时，如下图示：易得x+2x=90°，解得x=30°＝∠ABC．
进一步，得由三角形面积公式，得       

情况二：当∠ACB＝90°时，如下图示：易得∠ABC＝∠E＝0.5∠C＝45°．
类似上述，下面用另一方法求解，如下图示：综上所述，∠ABC＝30°或45°，S_△ADE/S_△ABC的值为2-√3或2－√2．喜欢本文，在文末右下角点亮【在看】吧！也是对作者的最大鼓励和赞赏！

压轴题解析——

直线型静态几何系列

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