【课本例题分析与思考】18.1.2平行四边形的判定（1）

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18.1.2平行四边形的判定(1)

（人教版课本八下P.46的例3和例4）本节所学知识：平行四边形的判定．

【例1】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

【图文解析】【课本解答】【例2】如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．【图文解析】【课本解答】【改编应用】
1．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是直线AC上的两点，并且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．2．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是直线AC上的两点，G，H是BD上的两点，并且AE＝CF，BG＝DH．求证：四边形BFDE是平行四边形．

3．如图，□ABCD中，E，F是直线AC上的两点，G，H分别是边BC，AD上的两点，并且AE＝CF，BG＝DH．求证：四边形BFDE是平行四边形．

4．如图，在▱ABCD中，已知点E、F在边AD和BC所在的直线上，且OE＝OF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

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【挑战1】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．【图文解析】（1）设法将条件“AP+AE=CP+CF”转化为两线段相等（这是常法、通法），如下图，在PA和PC的延长线上分别取点M，N，使AM=AE，CN=CF，连接ME，NF，EN，FM，则PN=PM，又PE＝PF，所以四边形EMFN是平行四边形，得ME=FN，∠EMA=∠CNF，进一步，得△EAM≌△FCN，得AM＝CN，所以AE＝CF．如下图，又AP+AE=CP+CF，所以PA=PC．　（2）由PA=PC，EP=PF，得四边形AFCE为平行四边形，如下图，进一步，得△PAD≌△PCB，得PD＝PB．又因PA＝PC，所以四边形ABCD为平行四边形（方法多种，只提供其中一种），如下图，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，再利用平行四边形的面积公式，不难求得四边形ABCD的面积．如下图，在Rt△ADG中，由勾股定理可求得DG＝6√3，所以（平行）四边形ABCD的面积为15×6√3＝90√3．

【挑战2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(﹣3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．

（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为1.5秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？【图文解析】（1）如下图，连接CD交AE于点F，由PCOD是平行四边形，得 CF=DF， OF=PF，又由于PE＝AO（已知），得AF=EF，所以四边形ADEC为平行四边形．（2）当运动时间为1.5秒时，OP＝1.5，BC＝2×1.5＝3，如图2-5T2．进一步，得OC＝OB－BC＝6-3＝3，又A（-3，0），得OA＝3．再根据勾股定理，得
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【课本例题分析与思考】八下系列18.1.1平行四边形的性质（2）
18.1.1平行四边形的性质（1）
七下系列5.1.2 垂线5.1.1 相交线

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