【课本例题分析与思考】5.1.2垂线

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5.1.2　垂线

（人教版课本七下P.3的例1）

本节所学知识：垂线与垂线的性质．本节课本无例题，以下例题是笔者补充．【例1】如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．（1）∠AOC和∠BOD相等吗？为什么？（2）若∠BOD=32°，求∠AOE的度数．【分析】
根据等式的性质或同角的余角相等，即可得到结论．
【解答】（1）∠AOC=∠BOD．理由如下：∵OA⊥OB，OC⊥OD(已知)，∴∠AOB＝∠COD=90°（垂直的定义）.即∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°．∴∠AOC=∠BOD（同角的余角相等）．（2）∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°．∴∠AOE=180°-∠AOB-∠BOD=180°-90°-32°=58°．答：（1）∠AOC＝∠BOD；（2）∠AOE＝58⁰.
【改编应用】1．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．则∠AOC的补角是_____________,∠BOC的余角是________.答案：∠BOE，∠AOC和∠BOD．2．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．
（1）∠AOC和∠BOD相等吗？为什么？（2）若∠BOD=52°，求∠AOE的度数．答案：（1）∠AOC＝∠BOD，理由略；
（2）∠AOE＝142°．【例2】如图，在河岸l的同侧有一村庄A和自来水厂B．现要在河岸l上建立一抽水站D，将河中的水输送到自来水厂后，再送往A村，为了节省资金，所铺设的水管应尽可能的短．问抽水站D应建在何处，应沿怎样的路线来铺设水管?在图中画出来．解析：如下图，根据“垂线段最短”和“两点间线段最短”．过点B画l的垂线，则垂足D为抽水站的位置．连接AB．沿D-B-A的路线铺设水管，可使所用的水管最短．
【延伸拓展】
如图，点B为∠EDF的边DE上的一个动点，点A在边DE的上方，过点B作BC⊥DF于点C，请画出符合“AB+BC长最短”的点B．答案：如下图示．点B为所求作的点．

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【挑战1】如图2-6，直线EF和CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，

（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数(用含α的式子表示)；（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？【分析】如图2-6T，第(1)(2)两问，均属于同一个问题.根据“平角的定义”得∠AOF＝180⁰－∠AOE，由“角平分线的定义”得∠FOC＝1/2∠AOF，再根据“对顶角相等”得∠EOD=∠FOC；由“垂直的定义”得∠AOB＝90⁰，所以∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，进一步，得∠BOD=∠EOD﹣∠BOE.   再根据上述结果不难找出它们之间的倍数关系．
【解】（1）∵∠AOE+∠AOF=180°，∴∠AOF=180°－∠AOE＝140°．
又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=1/2∠AOF=70°．∴∠EOD=∠FOC=70°．∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°．∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°．∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°．（2）∵∠AOE+∠AOF=180°．∴∠AOF=180°－∠AOE=180°﹣α．  又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣1/2α．∴∠EOD=∠FOC=90°﹣1/2α． 又∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=1/2α．（3）从（2）的结果中，可得∠AOE=2∠BOD．快速查找本公众号文章视频演示：

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【挑战2】O为直线DA上一点，OB⊥OF，EO是∠AOB的平分线．

（1）如图2-7-1，若∠AOB=130°，求∠EOF的度数；（2）如图2-7-2，若∠AOB=α，90°＜α＜180°，直接写出∠EOF（用α表示）；
（3）若∠AOB=α，0°＜α＜90°，请在图2-7-2中画出射线OF，并直接写出∠EOF（用α表示）．
【答案】（1）∠EOF=25°，过程略．（2）∠EOF=90°－0.5α．（3）如图2-7T示，射线OF₁或射线OF₂就是所求作的射线．∠EOF₁=90°－0.5α或∠EOF₁=90°+0.5α．

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