中考压轴｜纯代（函）数系列（2）

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【例1】在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax²+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax²+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为_______；（2）若抛物线y=ax²+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax²+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若0.5＜OE/OD＜2，求b的取值范围．
【图文解析】
（1）解题思路：先求直线AB的解析式，再根据“特征点”的定义，得到C点坐标.由A（0，0），B（1.3），可求直线AB：y=ax+b，代入，解得：a=3，b=0，所以直线的解析式为y=3x，抛物线的解析式为y=3x²，根据特征点的定义，得C（3，0）．（2）联立直线y=ax+b与抛物线y=ax²+bx，得ax²+（b﹣a）x﹣b=0，将左边因式分解，得（ax+b）（x﹣1）=0，解得：x=﹣b/a，x=1，∴A（1，a+b），B（-b/a，0）．点A、点B的位置如图所示:（3）①解题思路：根据条件先找出a与b的关系，进一步得到D点坐标，最后利用特征直线与平行四边形的性质，求出C点坐标.如下图示，因为特征点C（a，b）为直线y=﹣4x上一点，所以b=﹣4a．同时抛物线y=ax²+bx的对称轴(x=－b/2a=2)与x轴交于点D，所以点D的坐标为（2，0）． 如下图示：又点F（1，0），得DF=1．另一方面，因特征直线y=ax+b交y轴于点E，所以E（0，b）．而C（a，b），所以CE∥DF．又已知DE∥CF，得四边形DECF为平行四边形．如下图示：

进一步，得CE=DF=1．所以a=﹣1．因此特征点C为（﹣1，4）．②解题思路：先确定a的取值范围，再根据条件确定b与a的函数关系，然后根据a的取值范围，结合函数（b与a的函数有关系）图象，求出b的取值范围.由上述已求得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣b/(2a)，0）.由已知1/2＜tan∠ODE＜2，得1/2＜OE/OD＜2，将相关数据代入，得：化简，得1/2＜|2a|＜2.解得﹣1＜a＜﹣1/4或1/4＜a＜1，又由上述证得四边形DECF为平行四边形，所以CE=DF，得到：
【例2】已知：抛物线C₁： y=x²－2a x+2a+2 顶点P在另一个函数图象C₂上，（1）求证：抛物线C₁必过定点A（1，3）；并用含的a式子表示顶点P的坐标；（2）当抛物线C₁的顶点P达到最高位置时，求抛物线C₁解析式；并判断是否存在实数m、n，当m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n，若存在，求出求m、n的值；若不存在，说明理由；（3）抛物线C₁和图象C₂分别与y轴交于B、C点，当△ABC为等腰三角形，求a的值．【图文解析】1)  方法1：C₁：y=x²－2a x+2a+2=x²－2a(x-1)+2令 2a(x-1)＝0，则 x=1;代入可得：y=3.所以，过定点A(1,3).方法2(直接代入）：当x=1时，y=1-2a+2a+2=3;所以，过定点A(1,3).再化一般式为顶点式：y=x²－2a x+2a+2 =(x-a)²-a²+2a+2;所以顶点P(a,-a²+2a+2).2) 抛物线C₁的顶点P达到最高位置时,也就是点P的纵坐标取最大值时；令k=-a²+2a+2=-(a-1)²+3;当a=1时，k有最大值为3；此时P(1,3);所以y=x²－2 x+4 =(x-1)²+3 ≥ 3;∵ 当m≤x≤n时，有3m≤y≤3n得 3≤3m≤y≤3n，  ∴1≤m≤n如下图示：由增减性可得：当1≤m≤x≤n ，y随x的增大面增大；当x= m时， y= 3m，当x= n时，y= 3 n；因为1 ≤ m ≤n；所以： m=1; n=4.3) 如下图示：∵ 抛物线C₁： y=x²－2a x+2a+2 与y轴交于B点；∴ B（0，2a+2）∵ 顶点P(a,-a²+2a+2)在函数C₂上，∴ C₂的解析式为：y=－x ²+2x+2；图象C₂与y轴交于C点；∴C（0，2）∵A（1，3）由勾股定理得：∵△ABC为等腰三角形
∴ 分三种情况讨论：

【例3】在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）抛物线y=x²+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部分组成如图所示的图形，若直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k的取值范围．【图文解析】（1）简析：当k=1时，抛物线的解析式为y=x²﹣1，直线的解析式为y=x+1，联立两解析式，解之，得：A（﹣1，0），B（2，3）.（2）（解法多种，仅提供最常用且快速的一种，有兴趣的朋友可打开本公众号中的2017年中考福建倒一的第3小题中的解法），过点P作PF∥y轴交AB于F，如下图示：若设P（x，x²﹣1），则F（x，x+1），PF=y_F﹣y_P=(x+1)﹣(x²﹣1)　=﹣x²+x+2，S△ABP=S△PFA+S△PFB=0.5PF(x_F﹣x_A)+0.5PF(x_B﹣x_F)=0.5PF(x_B﹣x_A)=1.5PF=1.5(﹣x²+x+2)=﹣1.5(x﹣0.5)²+27/8∵当x=0.5时，y_P=0.5²﹣1=﹣3/4，∴△ABP面积的最大值为27/8，此时点P的坐标（1/2，﹣3/4）.（3）画出符合条件的草图如下图示，将图形折叠，显然应先求出直线与翻折后的抛物线只有一个公共点的情况，再结合k＞0，即可求出k的取值范围．先求出原抛物线与x轴的交点C、D坐标.由x²+（k﹣1）x﹣k=0得：（x+k）（x﹣1）=0，解得x=﹣k，或x=1，所以C（﹣k，0），D（1，0）.翻折后的抛物线与原抛物线关于x轴对称，所以翻折后的抛物线解析式为y=﹣x²﹣（k﹣1）x+k（可先求出翻折后的顶点坐标，也要直接用－y代替原解析式的y，再化简即可）.可先求出两种极端情况（即有三个公共点的情况），如下图示：

联立直线y=kx+1和翻折后的抛物线解析式，得kx+1=﹣x²﹣(k﹣1)x+k，即x²+（2k﹣1）x+1﹣k=0，由△=（2k﹣1）²﹣4（1﹣k）=0得：

当直线y=kx+1经过点C（﹣k，0）时，k=1，

【例4】定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

（1）写出函数y=﹣x²+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x²+4/3mx﹣2与y=x²﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁸的值；（3）已知函数y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”
【图文解析】
（1）直接根据“旋转函数”的定义求出a₂，b₂，c₂，从而得到原函数的“旋转函数”；具体过程如下：∵a₁=﹣1，b₁=3，c₁=﹣2，∴﹣1+a₂=0，b₂=3，﹣2+c₂=0，∴a₂=1，b₂=3，c₂=2，∴函数y=﹣x²+3x﹣2的“旋转函数”为y=x²+3x+2.（2）根据“旋转函数”的定义得到4/3m=﹣2n，﹣2+n=0，解之即可求出m和n的值，然后代入计算即可.过程如下：根据题意，得4/3m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，所以（m+n）²⁰¹⁸=…=1.（3）先求出原抛物线与x轴的交点坐标：A(-1,0),B(4,0),C(0,2)，根据关于原点对称的点的坐标的特征,得A₁(1,0),B₁(-4,0),C₁(0,-2),则经过点A₁,B₁,C₁的二次函数解析式为y=0.5(x-1)(x+4)=0.5x²+1.5x-2，再把y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）化为一般式y=-0.5x²+1.5x+2，根据“旋转函数”的定义,得：两二次函数是互为“旋转函数”．具体过程如下：证明：当x=0时，y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），当y=0时，﹣0.5（x+1）（x﹣4）=0，解得x₁=﹣1，x₂=4，则A（﹣1，0），B（4，0），∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁， ∴A₁（1，0），B₁（﹣4，0），C₁（0，﹣2），设经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=a₂（x﹣1）（x+4），把C₁（0，﹣2）代入,得a₂•（﹣1）•4=﹣2，解得a₂=0.5，∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=0.5（x﹣1）（x+4）=0.5x²+1.5x﹣2，而y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）=﹣0.5x²+1.5x+2，∴a₁+a₂=﹣0.5+0.5=0，b₁=b₂=1.5，c₁+c₂=2﹣2=0，∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．

【例5】如图,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象经过点(0，3),且当x=1时，y有最小值2．

（1）求a，b，c的值；【解析】（1）设y=a（x﹣1）²+2，将（0，3）代入，得a=1，所以y=（x﹣1）²+2，即y=x²﹣2x+3，所以a=1，b=﹣2，c=3.

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（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．
①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；

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②请在二次函数y=ax²+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；

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【解析】由于k的取值只与解析式中“k（2x+2）的值“有关，因此可考虑当2x+2=0(即x=－1)时的情况.而当x=－1时，函数y=ax²+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）的值相反（分别为6和－6），对应的函数图象上点M，N恰好关于x轴对称。因此不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，可得M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）.

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③过点M的直线y=﹣3/4x+t与抛物线y=ax²+bx+c交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？（点D 是函数y=k（2x+2）﹣（ax²+bx+c）（k为实数）的图象的顶点）
【解析】将点M（﹣1，6）代入y=﹣3/4x+t，得t=21/4，得函数解析式为y=﹣3/4x+21/4，得直线与x轴的点A（7，0）.
下面利用角平分线的相关性质求出∠NMP的角平分线的解析式（方法多种，仅选用常用的一种）如下图示，过M点作ME⊥x轴于点E. 设MD交x轴于点B，作BC⊥AM于点C.∵ME⊥x轴，∴E点的横坐标为﹣1，∴AE=8，∵ME=6，∴MA=10．（进一步，通过可配方得到点D的坐标.）∵y= ax²+bx+c＝x²﹣2x+3∴y=k(2x+2）-(ax²+bx+c)=-[x-(k+1)]²+(k+1)²+2k-3＝-[x﹣(k+1)]²+k²+4k﹣2．得顶点D（k+1，k²+4k﹣2）.最后根据点的坐标特征，可得到：点D在∠NMP的平分线MD（y=﹣2x+4）上时，代入y=﹣2x+4．

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④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得:对应的抛物线的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？

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【解析】（本题有多种解题思路，可参考之前的相关文章，本文仅提供一种）
由（3）知，抛物线的顶点D（k+1，k²+4k﹣2）.不妨设x_D=k+1, y_D=k²+4k﹣2.由x_D= k+1得k= x_D-1，代入y_D=k²+4k﹣2，得y_D=(x_D-1)²+4(x_D-1)﹣2 =x_D²+2x_D－5.所以可得顶点横、纵坐标满足y_D=x_D²+2x_D－5，根据”点的坐标和图象的意义“，结合”点动成线“知：随着k的取值不同，所有的顶点组成的图象应是抛物线y=x²+2x－5＝（x+1）²－6，因此：当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．相关文章

【例6】在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．

（1）若点P（2，m）是反比例函数y=n/x（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且满足﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，令t=b²﹣2b+3，试求出t的取值范围．【图文解析】（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=n/x，即可求出反比例函数的解析式，具体过程如下：∵点P（2，m）是“梦之点”，∴m=2，∵点P（2，2）在反比例函数y=n/x（n为常数，n≠0）的图象上，∴n=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=4/x；（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），根据“梦之点”的定义有：x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分下列三种情况讨论： 当3k﹣1≠0，即k≠1/3时，解得x=（1－s）/（3k－1）；当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=1/3，s=1时，x有无数多个解；当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=1/3，s≠1时，x无解；根据方程的根的定义可知x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系（若韦达定理不做要求（人教版是选学），可直接用求根公式得到）可得：下面再结合已知“﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2、x₁x₂=1/a”求出a的取值范围.由﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，得：x₁﹣x₂=2或－2，所以x₂＝x₁－2或x₂＝x₁+2，又因﹣2＜x₁＜2，所以﹣4＜x₂＜0或0＜x₂＜4，因此﹣4＜x₂＜4.进一步，得﹣8＜x₁•x₂＜8.即﹣8＜1/a＜8，又因a＞0，所以a＞1/8.而t=（2a+1）²+1．显然当a＞－1/2（在对称轴a=－1/2的右侧）时，t随a的增大而增大，所以t=(2a+1)²+1＞(2×1/8+1)²+1＝25/16+1＝41/16，∴t＞41/16．

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