想学几何画板朋友的请认真阅读！622分钟几何画板视频教程
(2020.5.1晚，浙大优培线上直播的《几何画板学习要点与数学原理》视频，可关注公众号后，发送“直播回放”，点击进入观看！)
强烈推荐
（完整版）《中考专题复习》配套视频
【例1】如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．
（1）若AE=2，求EC的长；（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．
【图文解析】（1）根据正方形的性质，得：AB=AD，∠B=∠D，根据“边角边”证得△ABE≌△ADF，得AE=AF，又∠EAF=60°，得△AEF是等边三角形，得EF＝AE＝2，又由“BC＝CD、BE＝DF”可得CE＝CF，进一步，得△CEF为等腰直角三角形，所以EC＝EF/√2＝2/√2＝√2.如下图示：
（2）本小题解法多种：因△AEF是等边三角形，故就“旋转“就有六法.分别说明如下：（为了后面叙述简单，先证A、E、G、F四点共圆.）由∠AGC=120°得∠AGD＝600，再由∠AGD＝∠AEF＝600可得到点A、E、G、F四点共圆（需证明——可用反证法，人教版中没有这个定理），如下图示：法一： 将△AFG绕A点顺时针旋转600，得到△AEH，如下图示：可得HE＝FG，∠AHE＝∠AFG，又在四边形AEGF中，∠AEG+∠AFG＝1800（圆内接四边形对角互补），得到∠AEH+∠AEG＝1800，所以H、E、G三点在同一直线上，再由旋转的性质得AH＝AG，∠GAH＝∠EAF＝600，所以△AGH是等边三角形，因此AG＝GH＝HE+EG＝EG+FG．如下图示：（下面几种只作图析，有的方法不需要“四点共圆”）
法二：将△AFG绕F点逆时针旋转600，……
法三：将△AEG绕A点逆时针旋转600，……法四：将△AEG绕E点逆时针旋转600，……法五：将△EFG绕A点逆时针旋转600，……法六：将△EFG绕F点逆时针旋转600，……法七： 当然也可以通过三角函数计算方法进行求解，如下图法：（此法思路可掌握，但不建议，计算量较大）
当然还可以通过先计算出150（半角）的三角函数值，或者建立坐标系转化为函数关系求解也可，这里略去.【反思】利用已知条件可得到A、E、F、G四点共圆，再通过旋转构造出全等三角形是解题的关键．注意体会本例中的六种解法的一致性和统一性，第七种解法的通用性.
【例2】如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y．
（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；（2）求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由．
【图文解析】
（1）当△BEF是等边三角形时，如下图示：
显然有∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=90°﹣60°=30°.在Rt△ABE中，由cos∠ABE=BE/A，得BE＝12/（cos300）=8√3，从而BF=8√3．如下图示：
（2）分析：可能通过三角函数的定义或勾股定理、相似建立方程，化简后即可得到所求的函数关系（常法，通法，务必熟练掌握）.法一：过E点作EG⊥BC于G，如下图示：由勾股定理，得：y2=（y﹣x）2+122，整理，得y=(x2+144)/(2x)，其中0＜x＜12．
法二：过F点作FG⊥BE于G，如下图示，因BF＝EF，则有BG＝0.5BE，
分别在Rt△BFG和Rt△ABE中，由cos∠1＝BG/y=cos∠2＝x/BE（或△ABE和△BFG相似）得，xy=BG×BE＝0.5BE2＝0.5（x2+144），化简，得y=(x2+144)/(2x)，其中0＜x＜12．
法三：（类似法二，用相似）延长EA到E’，使AE‘＝AE，则有：（如下图示）
不难证得△BFE∽△EAE’，从而有BE/y=2x/BE，得到BE2＝2xy,即x2+144＝2xy，……
（3）当把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A'处时，如下图示：
得∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F=AB=12，有FA′=EF﹣A′E=y﹣x=12，即y=x+12，如下图示：
再由（2）得：y=(x2+144)/(2x)得(x2+144)/(2x)＝12x，解得x=-12±12√2，又x＞0，所以AE＝x＝-12+12√2.
【拓展】E是正方形ABCD的边AD延长线上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y．画出图形，并解答：
(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(2)把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由．提示：解法与思路与原题类似，本题不给答案，只提供部分图形如下：
【反思】本题利用了等边三角形和正方形、矩形、等腰三角形的性质，利用勾股定理或相似或三角函数的定义求解，务必要理解和体会其中的联系和常用思路，即所谓的常法和通法.【例3】如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG=90°，点F是DG的中点，连结EF与CF．(1)求证：EF=CF，EF⊥CF；(2)如图2，若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°，其他条件不变，请判断△CEF的形状，并证明你的结论．
【图文解析】
(1)如下图示：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=DF=0.5DG，CF=DF=0.5DG，从而EF=CF.另一方面，根据“等边对等角”又可得∠FDE=∠FED，∠FCD=∠FDC，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得到：∠EFC=∠EFG+∠CFG＝2∠EDF+2∠CDF＝2（∠EDF+∠CDF）＝2∠BDC，而∠BDC=45°（根据正方形的对角线平分一组对角求出），得到∠EFC=90°，所以EF⊥CF.如下图示：(2)法一：由“中点”易得：倍长EF或延长EF交CD于H，本质相同，但倍长EF后需证明D、G、C三点在同一直线上，相对麻烦，所以选择：延长EF交CD于H，如下图示：根据正方形的性质（∠BCD＝900）和∠BEG＝900得∠CEG＝900，得∠CEG＝∠BCD，得EG∥CD，再根据“两直线平行，内错角相等”得∠EGF=∠HDF，根据“AAS”得△EFG≌△HFD，得EG=DH且EF=FH，同时结合BC＝CD,进一步,得CE=CH，如下图示：根据等腰三角形“三线合一”的性质，得EF=CF，EF⊥CF．法二：（只做图解），如下图示：【反思】构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
【拓展】在原例题的第2题的基础上，若等腰直角三角形△BEG图2位置开始，继续绕点B按旋转任意角度，其他条件不变，请判断△CEF的形状，画出符合条件的一个图形，并证明你的结论．【提示】解法类似，不做详解（结论仍然成立，图形如下：说明：如果将边AB和AD删除，就相当于两等腰直角三角形绕点B旋转任意角度。【例4】如图，正方形ABCD，BE⊥ED，连接BD，CE．（1）求证：∠EBD=∠ECD；（2）设EB，EC交AD于F，G两点，若AF=2FG，求DG：FG的值．
【图文解析】（1）本题直接证显然困难较大，但所证的两个角所对的边恰好有一公共边，同时正方形易找到45度的角与∠BED（＝90度）也有共边，因此容易想到“四点共圆”法（九年级）和“角平分线或正方形的性质（90度的一半＝45度）”，有下列两种方法：法一（辅助圆）：作BD的中点为O，连接OC和OE，如下图示：由BE⊥ED，得∠BED＝900，由正方形的性质得∠BCD＝900，得△BED和△BCD为直角三角形，同时O是BD的中点，所以有OC＝OB＝OD＝OE＝0.5BD，因此B、C、D、E(包括A点)均在以O为圆心，以0.5BD的长为半径的圆上，如下图示，再利用圆周角定理，即可得到∠EBD=∠ECD（均对弧DE）.法二（角平分线或正方形的性质）：过点C作CM⊥BE于M，作CN⊥DE交ED的延长线于N，则不难得到四边形CNEM是矩形，得到∠MCN＝900＝∠BCD，根据“同角的余角相等” 进一步得到∠BCM=∠DCN，又由正方形的性质可得BC=CD，因此△BCM≌△DCN，如下图示：进一步，根据全等三角形的性质，得CM=CN，又CM⊥BE，CN⊥DE，因此EC平分∠BED（也可证得四边形CNEM是正方形得到的），因此∠CEM=45°.如下图示：再从图中的“蝶形”图（上图示），根据三角形内角和定理（或外角性质）不难得到∠EBD=∠ECD.（2）如下图示：
由（1）得∠BEC＝0.5∠BED＝450，虽在正方形外，但可以通过“等腰直角三角形的性质”转化到正方形的顶点B共顶点，构成常见的基本图形和解题思路（角中半角），因此可以过点B作BP⊥CE于P，BP的延长线交CD于点Q，连接FQ，如下图示：根据∠BEP=45°求出∠EBP=45°.将△ABF绕B点顺时针旋转900（或将△BCQ绕B点逆时针900），得到……（如下图示）（当然，直接延长DC到点Q，使CR=AF，构造全等，本质一样）下面仅以第一个图来证明：如下图示，不难证明Q、C、R三点在同一直线上，且△FBQ≌△RBQ，如下图示：可得FQ=QR.若设FG＝a，QC＝b，则AF＝2FG（已知）＝2a，FQ=QR＝CQ+CR＝CQ+AF＝b+2a.如下图示：另一方面，与DG、FG（或AG）相关的显然有线段CG，而BQ⊥CF（均过正方形的顶点），又可进一步得到常用结论，如下图示：显然通过△BCQ≌△CDG可得到DG＝CQ＝b.至此，可以将所前面所需要的a、b间的关系放在同一直角三角形中考虑，如下图示：在Rt△DFQ中，由勾股定理，得：(a+b)2+(3a)2=(2a+b)2,整理，得：b=3a.所以DG：FG＝b:a＝3：1.【反思】如何通过特殊条件（角和垂直）构造全等（或旋转）是解题的关键，解题涉及到多个常见的解题思路（均为常法）务必熟练掌握．【拓展】如图，正方形ABCD，BE⊥ED，连接BD，CE．(1)求证：∠EBD=∠ECD；(2)设BE，CE的延长线交AD于F，G两点，若AF=3FG，求DG：FG的值．
【解法提示】与原题类似，第2小题的答案为2：1.往期推荐中考前两月，还需哪些解题习惯——深度解题练习
中考前两月，还需哪些解题习惯——深度审题练习
有章可循的解题教学，直击中考线上讲座预设说明、反思与课件分享｜5月1日浙大优培线上讲座《几何画板学习要点与数学原理》直观感受“动中有静”，深入理解“基本图形”注意积累平时习惯，轻松突破中考压轴例谈用代数方法（含参运算与定点定线定值分析）研究初中函数与几何运动变换问题——高考试题改编初中试题的拓展与思考保持正常心态，不当“压轴”是回事，定会豁然开朗：原来如此！
重要通知！
关注进入公众号，输入"okabc"(不含双引号）可得到新人教版所有章节的文章汇总，输入"视频"(不含双引号）可得到《尖子生之路》系列丛书（共7册）的配套视频！
无任何条件分享人教版全套章节课件（29章，每个章节课时均有多份课件——之前收集整理而成的，共3514个课件），可扫码关注文末的两个公众号中的任何一个，进入后，发送”人教版全套课件“（不含双引号）即可获得下载地址和提取码.说明：课件均可编辑，课件中若有网站链接则为本人之前创建的网站（优思数学网或悠悠数学网），早已经停止. 请转发分享给需要的朋友.赠人玫瑰，手留余香，给身边的朋友带去正能量。倘若你愿意将此文转发：比起转发几个数学群、需几个赞的得到的分享资料，也许更值得你转发分享！*本公众号原创文章开放转载，可联系号主微信（Zzd-553）授权与合作.
图书推荐（点击书名了解）
《尖子生之路》(7册)(个人作品,全彩版)
《图解中考数学压轴题》(20版)
《中考数学备考冲刺》(二轮复习)
《优学中考总复习》（20版)(一轮复习)