【超前自学与培优提升】｜二次函数的图象与性质

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1.本系列试题内容选自笔者编著的《尖子生之路》系列丛书中的内容，并加以深化解析，补充图书编写的局限和不足，其中部分拓展延伸的详细答案，可扫描文中的二维码进入笔者对应的视频号“延伸课堂”观看详细解析.2.已建立《尖子生之路》微信群，主要收集此系列丛书使用后的建议、勘误及今后的发展方向，不定时无条件分享与数学相关的资源，同时图书销售的客服和负责人（电话与微信同号：13 696867 205）也在群中，任何与图书购买的相关问题可直接联系。想加入微信群的朋友，可在微店中留言，由客服拉入.
二次函数的图象与性质

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【知识点巩固】

22.1.1二次函数的概念第22章二次函数小结与复习【例1】（1）在平面直角坐标系中，画出y＝x²﹣4x+3的图象；（2）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数y＝x²﹣4x+3图象上的两点，且x₁＜x₂＜1，请比较y₁，y₂的大小．【分析】（1）先配方，求出顶点坐标、对称轴，再列表（注意特殊点——与坐标轴的交点及它们的对称点），最后描点、连线；（2）结合函数图象，利用二次函数的性质直接求解．【解】（1）y＝x²﹣4x+3＝x²﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）²﹣1；列表：描点并连线，如图6-1所示：（2）由图象知：当x＜2时，y随x的增大而减小，且x₁＜x₂＜1．∴y₁＞y₂．
【拓展1】已知二次函数y＝2x²﹣4x﹣6．（1）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（2）利用图象直接回答：①当x取何值时，y随x的增大而减小？②当x取何值时，y＝0，y＞0，y＜0？③当0＜x＜4时，写出y的取值范围．【拓展2】抛物线y=﹣x²+bx+c的部分图象如图6-2．（1）若y＞0，则x的取值范围为________；（2）当0≤y≤3时，x的取值范围为________________.【拓展3】已知抛物线y＝x²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．当0＜x＜4时，则y的取值范围是　           ．【拓展4】已知二次函数y=﹣x²+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围为                    ．(答案在后面提示中）

【例2】已知二次函数y=x²+px+q图象的顶点M为直线与y=﹣x+m﹣1的交点．（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标；（2）当x≥2时，二次函数y=x²+px+q与的值均随x的增大而增大，求m的取值范围；（3）若m=6，当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y_最小值=2，求t的取值范围．【分析】（1）关于x、y的方程组的解即为顶点M的横纵坐标；
（2）根据题意，结合图象，利用对称轴所在的范围进行求解；（3）利用函数的图象与性质，结合对称轴所在的范围进行求解．【解】（2）依题意，得，解得m≤9/2．∴m的取值范围为m≤9/2；（3）当m=6时，其顶点为（3，2），∴抛物线为y=（x﹣3）²+2．∴函数y有最小值为2．∵当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y_最小值=2，∴ 解得0≤t≤4．
【拓展5】已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y之间满足下列数量关系：(1)观察表中数据，当x=6时，y的值是_______；
(2)这个二次函数与x轴的交点横坐标是_______；(3)代数式的值是_________；
(4)若s、t是两个不相等的实数，当s≤x≤t时，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)有最小值0和最大值24，那么s、t值分别是______.(答案在后面提示中）
【拓展6】已知一次函数y₁=x/2﹣1，二次函数y₂=x²﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y₁＞0且y₂≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y₁＞0且y₂≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．（答案在后面提示中）

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【拓展】的答案

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