抛物线与面积、周长相关（2）|代几综合【压轴解析】

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抛物线与面积、周长相关（2）

1．抛物线与新定义、面积

（2017•衢州）定义：如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP²+BP²=AB²，则称点P为抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的勾股点．

（1）直接写出抛物线y=﹣x²+1的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线C：y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，√3）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S_△ABQ=S_△ABP的Q点（异于点P）的坐标．

图文解析：

(1)直接根据抛物线勾股点的定义，如下图示. 得：所求的勾股点为（0，1）；

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（2）抛物线y=ax²+bx过原点，即点A（0，0），如下图示，作PG⊥x轴于G.

在Rt△PAB中，由tan∠1=PG/AG=根号3，得：∠1=60°，又在Rt△PGB中，由BG = PG tan∠2=3，从而OB=4，得到B（4，0）．再将B、P两点坐标代入y=ax²+bx（a≠0），即可得到：

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或：由于A、B点为抛物线与x轴的交点，所以可设所求的抛物线为y=ax（x﹣4），将点P（1，根号3）代入可求得a的值，最后再化为一般式.

（3）由S_△ABQ=S_△ABP且两三角形同底，可知|y_Q|=|y_P|=根号3，据此求解可得．

①当点Q在x轴上方时，如下图示：

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②当点Q在x轴下方时，如下图示：

2．抛物线对称与面积、最值．

（2017•苏州）如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b、c的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

【图文解析】

（1）如下图示，

将B（﹣c，0）代入抛物线的解析式，得0=c²+2c+c，解得c=﹣3或c=0（不合题意，舍去）.∴c=﹣3；

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（2）如下图示，

不难求得抛物线的顶点E（1，－4），进一步可求直线BC为y=2x﹣6.

由于F’落在直线BE上，将F’（2，m）代入直线BC的解析式得m=2×2－6＝－2，所以F（0，－2）.

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（3）由B（3，0）和C（0，－3）不难求得直线BC为y=x－3.设点P坐标为（n，0），如下图示，有：

       进一步得到：PA＝n+1，PM=－n+3，PN＝－n²+2n+3.

    由S△_PQN=S_△APM得：

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下面分两种情况解析：

①点Q在直线PN的左侧时，如下图示，

在Rt△QRN中，由勾股定理知：NQ²=1+（2n﹣3）²，显然当n=3/2时，NQ取最小值1．此时Q（1/2，-15/4）；

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②点Q在直线PN的右侧时，如下图示．

同理，由于NQ²=1+(2n﹣1)²，当n=1/2时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为Q（3/2，-15/4）．

综上，存在满足题意的点Q，其坐标为（1/2，-15/4）或（3/2，-15/4）．

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【反思】数形结合、分类讨论思想在本题中的重要作用，理解点的坐标与函数的关系是解题的关键，可以说：点的坐标是函数的“灵魂”.

3．抛物线与动点，角，面积，最值．

（江苏·盐城）如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=1/2x²+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S₁，△BCE的面积为S₂，求S₁:S₂的最大值；

②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

【图文解析】

（1）简析：依题意求得A（﹣4，0），C（0，2），再代入抛物线的解析式，y=－1/2x²+bx+c，可得b=-3/2,c=2，所以所求的抛物线的解析式为：y=﹣1/2x²﹣3/2x+2.

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（2）①先求得B（1，0）.

法一：如下图示，

因B（1，0），可求得N（1，2.5）.得DM＝-0.5a²-2 a，BN=2.5.

进一步，根据面积公式和平行线分线段成比例定理的推论，可得到：

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所以，当a=-2时，S₁/S₂的最大值为4/5.

    法二（计算量非常大，但为常法，体会解题思路，本题不建议用此法）     

解题思路：如下图示，先用m表示直线BD的解析式，再求出直线AC和BD的交点E的坐标，再进一步，由面积公式和平行线等分线段定理，可得到：

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（3）方法一：如下图示，

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    通过勾股定理的逆定理或相似，不难证得∠ACB＝90°，再取AB的中点P，连接OP，可得到∠BPC＝2∠BAC.同时P（-1.5，0），OP＝1.5，OC＝2，OA＝4，PC＝2.5，进一步tan∠BAC＝2/4＝1/2.

    情形一，当满足∠DCF=2∠BAC时，如下图示，

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    法一：过D点作DQ∥x轴交直线AC于Q，则有：（如下图示）

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由∠DCF=2∠BAC=∠DQC+∠CDQ得：∠CDQ=∠BAC，得到tan∠CDG=tan∠BAC=1/2，即RC：DR＝1：2.

       设D（a，﹣1/2a²﹣3/2a+2），则DR=﹣a，RC=﹣1/2a²﹣3/2a，所以：

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       法二：如下图示，作A点关于直线y=2(因C点坐标为（0，2）)的对称点A’，再作直线A’C交抛物线于D点（即为所求的D点）.

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       根据对称性和平行线的性质，不难证得∠DCF=2∠ACN＝2∠BAC.

       不难求得A’（－4，4），因C（0，2），直线A’C为y=－1/2x+2.

       再联立抛物线和直线A’C的解析式，即可求得D的横坐标为2.

    情形二，当满足∠CDF=2∠BAC时，如下图示，

    法一：过D点作DQ∥x轴交直线AC于Q，则有：（如下图示）

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当∠CDF=2∠BAC时，得tan∠CDF=tan∠CPO＝4/3.

设FC=4k，则DF=3k，DC=5k，

由中DQ∥x轴，得：

tan∠DQC＝3k/FQ=tan∠BAC＝1/2，

解得FG=6k，则CQ＝2k.

进一步，得：

法二：如下图示，作O关于BC的对称点O’，作B关于O’C的对称点B’，再作直线B’C交抛物线于D点（即为所求的D点）.

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根据对称性，不难证得∠BCB’=2∠BCO’＝ 2∠BCO＝2∠BAC，又∠BCB’＝90°－∠1＝90°－∠2＝∠CDF，满足∠CDF=2∠BAC.

       如下图示，不难求得：

       由tan∠BLC＝1/n=2/(1+m)得m+1=2n，又面积关系S_△OLC＝S_△OBC+ S_△BLC得：0.5（1+m）×2＝0.5×1×2+0.5×1×（2+n）即

2m=2+n，综合两式：

所以L（8/3，0）.

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    进一步由点C（0，2）和L（8/3，0）可得直线LC为y=-3/4x+2.

    类似地，可求出点B’的坐标，如下图示，

    直线CB’的解析式为y=-2/11x+2，再联立直线CB’和抛物线的解析式，解方程组，即可得到D点坐标.下略.

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   反思：本题的第（2）、（3）两小题的两种解题思路，不同添辅助线的方法，是中考的热点和重中之重，因此务必要熟练掌握。

4．抛物线与直线，动态问题，矩形，最值

 (2017·甘肃天水)如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax²﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；

（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5/4，求a的值；

（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【图文解析】

（1）简析：基础常规题，当y=0时，ax²﹣2ax﹣3a=0，因式分解，得a(x+1)(x-3)=0，解得：x₁=﹣1，x₂=3，所以A（﹣1，0），B（3，0）.

显然A、B两点为对称点，因此对称轴为直线x=（－1+3）/2＝1.

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【拓展】若抛物线过（m,k）和(n,k)，则其对称轴为直线x＝(m+n)/2.

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（2）过D点作DE⊥x轴于E点，因C(0，b)，则OC＝－b，如下图示，

由OC‖DE，不难证得：OE:OA＝CD:AC＝3:1，OC:DE＝AC:AD＝1:5，且由A（-1，0）得OA＝1，所以OE＝4，DE＝5OC＝-5b，得D（4，5b）.

直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），则0=﹣k+b得k=b，所以直线l为y=bx+b.

又因D点也抛物线上，将D（4，5b）代入抛物线解析式，得：

5b=a×4²﹣2 a×4﹣3 a（a＜0），解得：b=a.　所以，直线l的函数表达式为y=ax+a；

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（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，如下图示，设E（x，ax²﹣2ax﹣3a），

则F（x，ax+a）.

得到EF=y_E－y_F=……＝ax²﹣3ax﹣4a.

所以S_△ACE=S_△AFE﹣S_△CEF

=0.5EF×h₁－0.5EF×h₂

＝0.5EF×(h₁－h₂)

＝0.5EF×OA＝0.5EF

＝0.5(ax²﹣3ax﹣4a).

配方，得：

S_△ACE＝0.5a(x﹣3/2)²﹣25/8a.

所以△ACE的面积的最大值=﹣25/8a，

又△ACE的面积的最大值为5/4，

所以﹣25/8a =5/4，解得a=﹣2/5.

 当然，当直线EF“穿过”三角形ACE的内部，S_△ACE=S_△AFE＋S_△CEF＝0.5EF×(h₁－h₂)＝0.5EF×OA，上述结论仍然成立，如下图示：

【反思】面积求法有多种，这是最便捷的一种，但不论哪一种，思路均为“斜化直”及转化为易求图形的面积的和差。

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（4）假设存在，作出符合题意的图形，

①若AD是矩形ADPQ的一条边，

如下图示，

当AQPD为矩形时，根据“直角”可以得到相关常见基本图形及辅助线，如下图示：

       把x=－4代入抛物线解析式，可得到点Q的坐标为（－4，21a）.

       进一步地，

如下图示，由勾股定理得：

AQ²＝3²+(－21a)²_，AD²＝5²+(－5a)²_，DQ²＝8²+(－16a)²_.

         在Rt△DAQ中，由勾股定理，得：

AQ²+AD²＝DQ²，即：3²+(－21a)²+5²+(－5a)²＝8²+(－16a)²_.

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②若AD是矩形APDQ的对角线，如下图示，

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如上图，由勾股定理得：

AQ²＝3²+(－3a)²_，

AD²＝5²+(－5a)²_，

DQ²＝2²+(－8a)²_.

在Rt△DAQ中，由勾股定理，得：

AQ²+DQ²＝AD²，

即3²+(－3a)²+2²+(－8a)²＝5²+(－5a)²_.

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【反思】第3小题解题的关键是：尽可能作出符合条件的图形，再充分利用条件中的“直角”建立相似或全等关系。

5．抛物线与直线、圆，面积，相似，最值

 (2017•鄂州)已知,抛物线y=a x²+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=1/2.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)求证:直线DE是△ACD外接圆的切线;

(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S△ACP=1/2S△ACD ,求点P的坐标;

(4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.

【图文解析】

(1)  简析:根据对称轴x=1和点A(3,0),求出点B坐标(-1,0).

将A、B两点坐标代入抛物线的解析式y=a x²+bx+3,解得a=-1,b=2.所以抛物线的解析式为y= -x²+2x+3;当x=1时,求出D坐标为(1,4).

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(2)  简析:根据A、C、D三点的坐标,计算△ACD三边的长,由勾股定理的逆定理证出△ACD为直角三角形.由∠ACD=90°,得出AD为△ACD外接圆的直径;同理可证明△AED为直角三角形,得出AD⊥DE,即可得出结论.

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(3)  简析:由A(3,0)、C(0,3),求出直线AC的解析式y=-x+3.再求出线段AD的中点N的坐标(2,2),过点N作直线平行于直线AC, 求出直线的解析式为y=-x+4.

【反思】使S_△ACP=1/2S△ACD，两三角形同底为AC, 则高之比为1/2.构造过AD中点N，且平行于直线AC的平行线，即NH / DC =1/2.所以点P在直线和抛物线交点位置;由题干点P在直线AC上方的抛物线上,即点P横坐标的取值范围0<x<3,求出直线与抛物线交点横坐标后,需验证.

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 (4) 简析:以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,分三种情况:

①当∠BMC=90°时，△CMB∽△ACD，CM/AC=BM/DC,解得CM=3，M恰好为原点,∴M(0,0);

②当∠BCM=90°时，△MCB∽△ACD，BM/AD=BC/CD,解得CM=10, M在x轴正半轴上,∴M(9,0);

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【反思】由相似三角形的性质和直角三角形的性质，需想到以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似有三种情况.

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