近几年福建中考热点—（压轴中的压轴）判别式的运用与初高中衔接

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说明：判别式的相关知识不仅是初中数学教学的重点，在高中数学学习中也是重中之重之一的内容。本篇试图通过几道典型例题和福建九地市质检压轴和福建省中考试题的解析，引起注意！

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典型引例：

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例1.  已知：如图，矩形ABCD中，AD＝a，DC＝b，在AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝x，问：这样的点E是否存在?若存在，这样的点E有几个?请说明理由．

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解析：当∠DEC＝90°时，矩形被分成的三个三角形相似。

得AD:AE=BE:BC.

即a:x=(b－x):a.

整理，得x^2－bx+a^2=0.

其判别式Δ＝b^2－4a^2

　　　　　=(b+2a)(b－2a)，

因b+2a>0，

所以只需讨论b－2a的符号.

不难得到：

（1）当b>2a时，Δ＞0，符合条件的点E有两个点；

（2）当b＝2a时，Δ＝0，符合条件的点E有一个点；

（3）当b＜2a时，Δ＜0符合条件的点E不存在.

另：本题用“圆”的相关知识来解，也很方便：

小结：利用方程根的情况（判别式Δ）来判断点的个数。

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例2　如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH，试求b/a的取值范围．　

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解析：设BF＝x，则通过全等，

得BE＝CF＝a－x，

在RtΔBEF中，由勾股定理，得：

由于x的值是存在的，则上述关于x的二次方程有实数根，所以Δ≥0.

即：

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小结：根据勾股定理，建立方程模型，巧妙利用根的判别式突破。

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例3　已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于1.5．

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解析：由a+b+c=0知，三个实数中至少有一个为正数，不妨设c＞0，则有b=－a－c，代入abc=1中，得：a(-a－c)c=1，即a(-a－c)=1/c，整理得：a^2+ac+1/c=0，因a为实数，所以关于a的一元二次方程a^2+ac+1/c=0有实数根（“废话不废”），因此：

…….

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小结：又一道通过建立方程模型，巧妙利用根的判别式突破。

例4　已知二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n.

（1）当m=t=0时，判断二次函数图象和x轴的交点个数.

（2）若n=t=3m，当x为何值时，函数有最值？

（3）是否存在实数m和t，使二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n与x轴有交点，且n的最大值和最小值分别为9和3？若存在，求m和t的值；若不存在，请说明理由.

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解析：

（1）只需将m=t=0代入原解析式，得到含有字母系数n的二次函数，再根据“Δ”的符号，判定图象与x轴的交点个数.

答案如下：

将m=t=0代入，得：

y=－(n/2)(x^2)+nx－n（n≠0）.

Δ＝……=－(n^2)，又n≠0，

得到△＝－(n^2)＜0.

所以该二次函数图象和x轴的交点个数为0.

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（2）类似（1），将n=t=3m代入，得到含有字母m的二次函数，再通过配方，即可得到答案。答案如下：

∵n=t=3m，

∴y=－mx^2+3mx

(由m－n≠0可得m≠0）.

配方，得：

y=－m(x－1.5)^2+2.25m.

∴当x=1.5时，函数有最值.

（也可分m>0和m<0讨论）.

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下面详细解析第（3）小题

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（3）务必审清题意，逐个条件分析，最后综合所得到的结论求解.

根据“二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n与x轴有交点”可得到：

Δ＝…=-(n^2)-4×0.5(m-n)×(t-n)

＝－n＾2+2（m+t)n－2mt≥0.

得Δ为关于n的二次函数

（因n的取值明确）.

“Δ为关于n的二次函数”这个结论是解题的关键（注意体会）！！！且Δ≥0.

根据“且n的最大值和最小值分别为9和3”及结合上述结论，可以得到：本题的题意相当于“当3≤n≤9时，Δ≥0（即关于n的函数Δ的值为非负数——相当于此时函数Δ的图象在n轴上或上方”）.

由此得到：分别当n=3或9时，关于n的函数值中的Δ＝0.

所以

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小结：本题其实难度不大，关键：真正理解题意，能从题意得到有用且关键的结论.

例6(18年泉州九上质检)已知一次函数y=kx－2√3的图象与x轴交于点A（－2，0），与y轴交于点B，点P的坐标为（0，m）.

（1）（2）略去．

（3）求√2PA+PB的最小值.

【也可这么解】

如下图示：

由勾股定理，不难得到：

直接求出其最值显然有困难，但可通过函数关系，转化为“判别式相关“，问题就能迎刃而解了，本公众号也有多篇相关”用判别式求解最值“的问题.

例7  2017年福建省中考倒一的最后一问

……

还有：……

近三年福建九地市的质检压轴试题中有此类问题出现……

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