函数图象与角系列（1）|代几综合【压轴解析】

强烈推荐：中考系统复习

（视频解析与同步训练）

注：本系列内容选自本人已使用多年的中考系统复习讲义内容,共34课时（在下方4个链接中），从知识点复习（解读）到例习题的分析全程视频讲解，可作为即将参加中考的孩子提前复习使用，欢迎转发分享.

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请观看下面视频操作演示

函数图象与角系列（1）

1．抛物线与45°角，面积，相似

（2017•深圳）如图，抛物线y=ax²+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；

（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S_△ABC=2/3S_△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

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【图文解析】

（1）简析：将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx+2，得到关于a、b的方程组，解之即可. 本小题答案为： 抛物线解析式为y=﹣1/2x²+3/2x+2.

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（2）由S_△ABC=2/3S_△ABD，可得到S_△ABC：S_△ABD=OC：|y_D|=2：3，由C（0，2）得OC=2，所以|y_D|=3.

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当y_D =3时，由﹣1/2x²+3/2x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；

当y_D =﹣3时，由﹣1/2x²+3/2x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；

综上可知，存在满足条件的点D，分别为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；各种情形的图如下示。

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（3）要求线段BE的长，必须先求出E点坐标，求出直线BE的解析式，然后联立直线与抛物线的解析式，即可得到E点的坐标.

首先，由A(－1，0)、B（4，0）、C（0，2），根据勾股定理的逆定理或相似，不难证得△ABC为直角三角形。如下图示：

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法一　由∠ACB＝90⁰和题意中的“旋转45⁰”容易联想到“等腰直角三角形”，因此可构造如下图示的等腰Rt△.

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此时△ABF可解。不难求出F点坐标，如下图示：

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分别在Rt△AOC和Rt△AFG中，由cosA=AG/AF=OA/AC可得：

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由B（4，0）和 F（2，6）不难得到直线BE为y=﹣3x+12.

 联立直线BE和抛物线解析式可得：

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 得到E（5，－3）.再由勾股定理，可得到BE的长为根号10.

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法二，利用对称，可得到等腰直角三角形，如下图示：

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法三，如下图示，转化为“一线三等角”就有更多种的解法了。

进一步地，

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此种解法较多，再举二种：

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法四，构造辅助圆，如下图示，

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法五：旋转法

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本题还有很多种解法，不一一列出，类似“有关45°的试题”可参考本公众号的“2017年福州市质检的第16题”（已有十几种解法）的文章（点击标题直接打开）.

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【反思】有关45°的角的相关试题均可以通过构造“一线三等角”、构造直角、构造矩形、构造辅助圆，可通过平移、对称、旋转、相似、建系等方法转化为“解三角形”来解决，均有很多种解法。

2．抛物线与特殊角、计算说理

（2017·南通）已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax²（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）若∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，求a的值．

（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B的坐标．

（3）延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO．

【图文解析】

3．抛物线与动点，角，面积，最值．

（江苏·盐城）如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=1/2x²+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S₁，△BCE的面积为S₂，求S₁:S₂的最大值；

②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

【图文解析】

（1）简析：依题意求得A（﹣4，0），C（0，2），再代入抛物线的解析式，y=－1/2x²+bx+c，可得b=-3/2,c=2，所以所求的抛物线的解析式为：y=﹣1/2x²﹣3/2x+2.

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（2）①先求出B（1，0），然后，

    法一：如下图示，

同时，因B（1，0），可求得N（1，2.5）.分别得DM＝-0.5a²-2 a，BN=2.5.

    进一步，根据面积公式和平行线分线段成比例定理的推论，可得到：

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所以，当a=-2时，S₁/S₂的最大值为4/5.

    法二（计算量非常大，但为常法，体会解题思路，本题不建议用此法）     

解题思路：如下图示，先用m表示直线BD的解析式，再求出直线AC和BD的交点E的坐标，再进一步，由面积公式和平行线等分线段定理，可得到：

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（3）方法一：如下图示，

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    通过勾股定理的逆定理或相似，不难证得∠ACB＝90°，再取AB的中点P，连接OP，可得到∠BPC＝2∠BAC.同时P（-1.5，0），OP＝1.5，OC＝2，OA＝4，PC＝2.5，进一步tan∠BAC＝2/4＝1/2.

    情形一，当满足∠DCF=2∠BAC时，如下图示，

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    法一：过D点作DQ∥x轴交直线AC于Q，则有：（如下图示）

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由∠DCF=2∠BAC=∠DQC+∠CDQ

得∠CDQ=∠BAC，

得tan∠CDG=tan∠BAC=1/2，

即RC：DR＝1：2.

设D（a，﹣1/2a²﹣3/2a+2），

则DR=﹣a，RC=﹣1/2a²﹣3/2a，所以：

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       法二：如下图示，作A点关于直线y=2(因C点坐标为（0，2）)的对称点A’，再作直线A’C交抛物线于D点（即为所求的D点）.

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根据对称性和平行线的性质，不难证得∠DCF=2∠ACN＝2∠BAC.

不难求得A’（－4，4），因C（0，2），直线A’C为y=－1/2x+2.

再联立抛物线和直线A’C的解析式，即可求得D的横坐标为2.

情形二，当满足∠CDF=2∠BAC时，如下图示，

法一：过D点作DQ∥x轴交直线AC于Q，则有：（如下图示）

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当∠CDF=2∠BAC时，得tan∠CDF=tan∠CPO＝4/3.

设FC=4k，则DF=3k，DC=5k，

由DQ∥x轴，得tan∠DQC＝3k/FQ=tan∠BAC＝1/2，解得FG=6k，则CQ＝2k.如图示：

如图示，不难求得：

法二：如下图示，作O关于BC的对称点O’，作B关于O’C的对称点B’，再作直线B’C交抛物线于D点（即为所求的D点）.

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根据对称性，不难证得∠BCB’=2∠BCO’＝ 2∠BCO＝2∠BAC，又∠BCB’＝90°－∠1＝90°－∠2＝∠CDF，满足∠CDF=2∠BAC.

       如下图示，不难求得：

由tan∠BLC＝1/n=2/(1+m)得m+1=2n，

又面积关系S_△OLC＝S_△OBC+ S_△BLC

得0.5(1+m)×2=0.5×1×2+0.5×1×(2+n)

即2m=2+n，综合两式：

所以L（8/3，0）.

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进一步由点C（0，2）和L（8/3，0）

可得直线LC为y=-3/4x+2.

类似地，可求出点B’的坐标，如下图示，

直线CB’的解析式为y=-2/11x+2，再联立直线CB’和抛物线的解析式，解方程组，即可得到D点坐标.下略.

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反思：本题的第（2）、（3）两小题的两种解题思路，不同添辅助线的方法，是中考的热点和重中之重，因此务必要熟练掌握。

4．一次函数与三角形、对称、特殊角

（2017·天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(根号3,0)，点B(0,1)，点O(0，0).P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'.

（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；

（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；

（3）当∠BPA'＝30°时，求点P的坐标(直接写出结果即可).

图文解析：

题干分析：由点A(根号3,0)，点B(0,1)得OA＝根号3，OB＝1，再由折叠△AOP得到△A’OP可得到：O A'＝OA＝根号3. 如下图示.

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进一步，在Rt△AOB中，由tan∠ABO＝根号3，得∠ABO＝60°，还可得∠BAO＝30°，AB＝2等.

观察动态演示(动画自动演示，不可点击)

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（1）当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，如下图示：

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在Rt△OBA’中，由勾股定理，得BA’=根号2.所以A’的坐标为（根号2，1）.

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（2）当P为AB中点时，如下图示：

显然，在Rt△AOB中，有OP＝PQ＝PB＝0.5AB＝1＝OB，得相关结论，如下图示：

（能直接得出的结论远不止图上标出的）

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如下图示：不难证得四边形OPA’B是菱形，所以A'B＝OP＝1.

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本小题解法多种，下面再提供一种直接进行计算的方法，如下图示：

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（3）当∠BPA'＝30°时，分两种情况考虑：

当A’在边AB的右上侧时，如下图示，设OA’与AB相交于C.

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  不难求得∠ACO＝60°,而∠ABO＝60°，因此可以确定点C与点B重合，从而点A’落在y轴上.如下图示：

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添加如下图所示的辅助线，显然有OA’=OA=根号3，且∠OA’P=30°，同时又有：(如下图示)

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第二种情况：(∠BPA'＝30°)当A’在边AB的左下侧时，如下图示，

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不难得到四边形OAPA’是菱形，从而PA=OA=根号3.下面求此时P点的坐标：添加如下图如示的辅助线：

-END-

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