物事纷飞：超导转变温度 Tc

我们从小接受物理教育，然后在物理研究的世界中熏陶，会逐渐形成一些逻辑观念。例如，因果关系，就是一种观念：对观测到的现象，寻找并建立此间原因与结果的对应关系，大概是人们对物理学最直观的认知之一。特别是，如果这种关系能够用简洁和直观的函数表达出来，就更会让那些不曾为物理而“消得人憔悴”的人们觉得神奇和叹服。不知道是不是因为这个原因，物理学在普通百姓眼中显得有点高大和无所不能。

Ising 作为一低能物理人，对此感受有些不同。对物理世界的因果关系最漂亮的描述，似乎有两个特征：一是多局限于线性或低阶 (低能) 区域，其描写具有定量化意义；二是优美的描述多针对单值函数，对应于能量上很深的单势阱和稳定可用的性能。有了这两个特征，物理给我们构建的图像就显得简洁、准确、美不胜收。当然，再补充一些天才的对数或 e 指数规律加持，大致上就形成了我们对物理的崇拜及对其无所不能的笃信。

然而，被 Ising 当成职业而参与的那些凝聚态和材料物理研究，似乎不完全是这样。例如，Ising 赖以讨生活的铁性物理，在面对复杂现象和效应时，其实有点勉力而为。为了将铁性因果关系写成线性形式，通常会通过大幅度近似而降低问题复杂性，或者将复杂性隐藏到线性近似前面的系数中去。如此，在假定这些系数为常数的情况下，物理看起来要简洁优美很多，虽然我们知道这些参数不大可能是常数。

举个例子，麦克斯韦方程组，其优美度据说位居物理学十大方程之首，其物理意涵深邃。但将之用到复杂一点的电磁介质中去时，大部分复杂性都隐含于“磁导率”和“电极化率”两个“常数”中，以至于不得不单独将电磁场定量计算作为计算物理的门类之一。除此之外，还需要将误差、试错、实验印证等辅助工具都用上，才能得到准确结果。

这种复杂性，在量子材料中表现得更为淋漓尽致：量子材料中，似乎较少有可以准确定量化的线性响应规律。多参数、多值、多重因果等现象，其背后对应的是诸多很浅的势阱、诸多很低的势垒、诸多很小的能量尺度。这种情况下，对物理规律有简洁认知，就面临较大挑战，需要寻求新的认知。这也是为什么在量子材料中，如果能够幸运获得一个简洁优美的理论，或者偶尔出现一个严格解 (如 honeycomb 点阵中 Kitaev 严格解)，那都是研究生涯的极致，宛若天外来客一般。反过来看，正因为如此，物理人更珍惜这种简洁和严格的因果关系！

图 1. 构建超导转变温度 T_c 的准确理论一直是超导人的追求。

Physics 13, s94 (2020), Improved Predictions for Superconductors, https://physics.aps.org/articles/v13/s94

在值得咀嚼的例子中，关于超导转变温度 T_c 的理论，应该算一个。构建超导转变温度 T_c 的准确预测理论，一直是超导人的追求，如图 1 所示。虽然对此 Ising 是外行，但外行所学、所悟，可能更容易为门外的物理人接受。对这一问题的关注，至少有两重互相不那么 consistent 的意象：(a) 超导转变进程很复杂，牵涉到若干关键物理机理的融会贯通，可不是一种简单、直接的因果联系可以概括的；(b) 这些机理，其能量尺度都不大，远不能期待用一个能量上很深的单势阱就可以描述，因此整个物理进程有很多其它因素对其施加干扰或直接介入。从这个意义上，建立一个超导转变温度 T_c 的直观的理论或说因果关系，应该是很难的。

问题是，如果不管那复杂到顶的非常规超导理论，历史上还真出现过如常规超导 BCS 理论这样的伟大理论。它似乎给我们一种感觉：关于超导转变温度 T_c 的理论，有可能出人意表，可以是简洁、直观的！

果真是这样，那有多好！那就来看看否？

图 2. 那个著名的 McMillan formula for T_c (麦克米兰极限)

https://www.slideserve.com/damaris/new-roads-opening-in-the-field-of-superconducting-materials-after-the-discovery-of-mgb2

众所周知，参考BCS 理论给出的超导转变温度公式 (如图 2 所示)，要评估超导转变温度 T_c 的高低，至少有如下几点需要考量。Ising 在这里，开始用大白话来肤浅一番，读者不必苛求严谨：

(1) 费米面处的态密度，或者反过来，所谓费米温度 T_F (Fermi temperature)、或者费米能 (Fermi energy E_F)。这里 T_F 主要衡量载流子的运动能力，与费米面处态密度大致成反比，虽然也有人不认可这个概念。超越这个温度的电子，就可能拆散参与配对的库珀对。因此，这个温度越高，表明可能有越多电子参与库珀配对。注意到，没有库珀对，超导就是无米之炊，更别说实现宏观超导了。因此，可以认为，费米温度 T_F 限制了超导温度 T_c，或者说 T_F 给 T_c 设置了一个上限，或者说比值 T_c / T_F是有限的。

(2) 电声子耦合强度 (characteristic phonon frequency ω₀、特征德拜频率，或者电声子耦合强度 λ)。电声子耦合强，库珀对就稳固，当然利于库珀对大量形成，如果态密度足够的话。因此，可以认为电声子耦合强，超导温度 T_c 可能就会高。也就是说，参数 ω₀ 给 T_c 设置了一个上限，或者说比值 T_c / ω₀ 是 有限的。

(3) 库珀对凝聚能力，或所谓的零温下超流刚度 (zero-temperature superfluid phase stiffness ρ_s(0))。这是衡量库珀对这一玻色子凝聚能力的参数。如果库珀对能够大规模凝聚，则宏观超导态形成能力就强，超导温度 T_c 可能就会高。也就是说，这一刚度 ρ_s 给超导温度 T_c 设置了一个上限，或者说比值 T_c / ρ_s(0) 是有限的。

图 3. 超导人总结预言的超导转变温度 T_c 与本笔记梳理的三方物理间的“因果”关系。

(上) The Uemura plot showing T_c vs the effective Fermi temperature T_F, From R. P. Singh group, PRM 3, 104802 (2019), https://doi.org/10.1103/PhysRevMaterials.3.104802

(中) The typical behaviors of T_c as a function of the electron-phonon coupling parameter λ in a single band isotropic BCS model. From A. Bussmann-Holder et al, Novel Superconducting Materials 2(1), 37 (2016), https://doi.org/10.1515/nsm-2016-0004

(下) Uemura plot of T_cversus the low temperature superfluid stiffness. Form D. R. Parker et al, PRL 104, 057007 (2010), https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.104.057007

如上三方物理，都有一个可测量来衡量其强弱、高低或者大小，因此是可以付诸实验检验的、是好物理量。正是基于此，许多超导人执着于物理因果关系的信念，试图去构建超导转变温度 T_c 与这些可测量的简单函数关系。其中一些学者，甚至耗费半生精力，于其中追逐，取得了诸多结果，让我们相信这样的简单函数关系的确存在。图 3 所示为一些例子，而类似的认知还有很多。

需要特别指出，对 BCS 理论有深入理解的超导人可能都认可，这三方物理对应的能量尺度都不大，与固体中很多量子进程的能量尺度差不多。因此，此三方物理也只是诸多进程之一隅而已。建立超导转变温度 T_c 与这些可测量的简单定量关系，远非易事。随便举两个例子：

(1) 安德森极限 (Anderson limit)：1959 年，大神安德森曾经研究过超导转变温度 T_c 与样品大小的关系。安德森当时猜测，如果样品尺寸太小，载流子数目将减少，能量量子化导致的电子填充能级差就很大、甚至比超导能隙都大。这里的所谓超导能隙 Δ₀，原本就是库珀对能量与一对自由电子能量的差 (前者比后者低)。当两个电子的填充能级差大于超导能隙时，这两个电子就难以结成库珀对。如此，这个样品就不可能超导。此极限尺寸，即所谓 Anderson limit，直到 2017 年才由法国的一个课题组用实验证实为真 (S. Vlaic et al, NC 8, 14549 (2017), https://www.nature.com/articles/ncomms14549)，确定的临界尺寸 ~ 100 nm³。这一极限的存在，在上述三方物理之外。

(2) 麦克米兰极限 (McMillan formula for T_c)。从事高温超导的量子材料人，都追求超越所谓麦克米兰极限，好像多数认为这一极限是 T_c,max ~ 38 K，也有人说是 30 K。此极限是 1960 年代初由当时在 Bell 实验室工作的 Willam L. McMillan 教授提出，似乎是一个近似估算 T_c 的公式，乃通过数值迭代求解 Eliashberg equation 组后拟合出来，如图 2 所示。当然，正因为超越这个估值的例子并不那么多，所以才有超越之后的兴奋，也说明这一简洁的关系实际上并非那么普适和好用。

如上两个周知实例，说明决定超导转变温度 T_c 的物理不那么简单，有诸多因素介入。有鉴于此，就有睿智的超导人尝试另谋他途。例如，中科院物理所胡江平老师，早几年就尝试过用材料基因组学的方法处理超导电性问题，虽然他可能主要针对非常规超导。个中新意和缘由，值得敬佩，或者可另文描述、在此不论。

我们还是回到超导转变温度 T_c 的主题上来。无独有偶，最近，来自米国 Cornell University 物理系量子材料理论的青年才俊 Debanjan Chowdhury 教授(https://physics.cornell.edu/debanjan-chowdhury)，联合以色列 Weizmann Institute of Science 的 Johannes S. Hofmann 博士、Erez Berg 教授(https://www.weizmann.ac.il/condmat/berg/welcome)，及斯坦福大学超导理论名家 Steven A. Kivelson 教授(他也是《npj QM》的主编、https://sitp.stanford.edu/people/steven-kivelson)一起合作，完成了一项有关超导转变温度 T_c 的探索工作，发表在《npj QM》上。这一工作，别具一格，致力于质疑 T_c 与费米温度 T_F、零温下超流刚度 ρ_s(0)、电声子耦合强度 ω₀ 三个物理量之间是否存在简洁的因果关系 (很少有文章做这样的质疑工作)。如果这样的简单因果关系存在，则以 T_c / T_F、T_c / ρ_s(0)、T_c / ω₀ 这三个比值来表达的结果就应该是有限的。问题是，他们通过几个模型哈密顿的严谨分析 (图 4 所示为一例)，揭示出：这几个比值可能是无界的，与原来认知的简洁的因果关系不符。他们的主要结论是：物理上，这些简洁的比值关系，当然符合物理逻辑、也很有用，但看起来 none of them serve as a fundamental bound on T_c。这一句话，很是决绝！

图 4. Chowdhury 他们给出的费米能 E_F 的两种定义 (上部) 和库珀对玻色子的动量分布 (下部)。详见作者论文 (点击文尾“阅读原文”)

或者更直截了当地说，这一工作的结论是：T_c / T_F、T_c / ρ_s(0)、T_c/ ω₀ 这三个比值，原本被认为是有限的，实际上却可能是无界的！对超导转变温度 T_c，得出这样的结论，应该说足够令人意外、却似乎在意料之中！凭这一点，应该够了《npj QM》的刊发标准，更别提这一问题背后蕴含的追逐简洁因果关系所面临的挑战。这大概也是当下物理科学研究那丰腴世界中的一帧缩影、一只极限环、一方大模样。

雷打不动的结尾：Ising 是外行，如若理解错了，敬请谅解。各位有兴趣，还是请前往御览原文。原文链接信息如下：

Heuristic bounds on superconductivity and how to exceed them

Johannes S. Hofmann, Debanjan Chowdhury, Steven A. Kivelson & Erez Berg

npj Quantum Materials volume 7, Article number: 83 (2022)

https://www.nature.com/articles/s41535-022-00491-1

七律·穹宇

经年十月望天空，物理情怀作客东

盘古时光原可度，银河星宿迹难同

凡尘有意凝山水，混沌无由序昊穹

将许冰心多向宇，犹听系综化长风

备注：

(1) 编者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。

(2) 小文标题“物事纷飞：超导转变温度 T_c”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是表达超导转变温度的理论预测是如何艰难而又充满吸引力，让多少超导人“消得人憔悴”。

(3) 文底图片拍摄自金陵大街之夜 (20190928)。小诗原针对 2019 年很诗意、很感性的诺贝尔物理学奖而写，描绘盘古时光开始、凡尘凝聚成星体、混沌通过对称破缺形成今天的寰宇天空 (20191009)。

(4) 封面图片展示了 why superconductivity takes place in graphene theoretical physicists take important step in development of high-temperature superconductors，这里借来表达如下意涵：对 T_c 的理论探索,给超导研究带来了星星之火，是可以燎原的。图片来自 https://www.jyu.fi/en/current/archive/2020/02/。

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