那一半拓扑量子态
对当下的“量子材料”学科，涌现新概念和新效应最多的领域，当属拓扑量子材料。即便是在这个领域里挥斥方遒的人们，作为个体未必都能很快跟上新概念和新物理的步伐，更不要说 Ising 这个外行了。但生计所迫，Ising 还得在这个领域的篱笆外探头探脑、左张右望。倘若偶尔触及此中一些新的名词，便囫囵吞枣一番，尝试能慢慢体味其中的少许意义和价值。从最初级的层面看，拓扑量子物理和材料的研究勃勃生机，大兵团向前推进，但也不可避免会有与其它传统学科领域发展类似的情形，即一些未知和问题被遗留在后面，慢慢被遗忘。个中轻重，也许不是那么迫切、不是那么容易被关注到。前者可慢慢打磨，后者则要看是否有人会在百忙中坐下来品茗斟醇。
例如，这一领域之所以总是带“拓扑”的修饰，是因为关注的物理对象，即动量空间的能带结构，具有非凡的拓扑几何形态。拓扑，反映的是其全域几何性质，因此物理人也从数学家那里学习，用陈数 (chern number) 或简单如卷绕数 (winding number) 等数学量去刻画能带的整体几何。考虑到任意几何体的拓扑分类定义，这样表征整体拓扑的参数就可以作为拓扑不变量使用，也就必然是整数。图 1 即为一个最简单的例子，说明这一问题。然后，人们就广泛认同这一规范：描述一个几何体整体的拓扑不变量，只能是整数。
图 1. 刻画拓扑绝缘体的拓扑不变量为何是整数？左边的拓扑绝缘体对应于一个环 (假定拓扑不变量为 1)，而右边的正常绝缘体 (真空) 对应一个球面 (假定拓扑不变量为 0)，它们之间的过渡必定在其界面处形成一个交叉。很显然，左边的环和右边的球之间拓扑不变量都是整数，相差为 1。负能隙乃因自旋-轨道耦合导致能带反转。
When transitioning from a topological to a trivial insulator, the energy gap must close at the surface of the topological insulator. This energy gap closing is equivalent to the discontinuous deformation required (i.e., closing the hole) to transform a donut into a baseball.
https://blogs.iu.edu/sciu/2020/11/14/can-you-turn-a-baseball-into-a-donut/
那好，这里，没有多少人会去关注的问题，其实很简单、很暴力：有没有可能出现拓扑不变量不是整数的情形？或者更粗暴一些，有没有半整数 (n + 1/2) 拓扑不变量？问题先放在这里，Ising 继续写读书笔记。
物理人的传统和独立性情，当然不会只满足于拿来主义。他们从数学那里借用一些概念，自然就会在此基础上进行发展和拓新。其实，量子场论很早就有那著名的 Nielsen – Ninomiya 定理，或者叫费米子加倍定理 (费米子重叠定理 or fermion doubling theorem)。Ising 不懂其深刻内涵，但感觉它大概是说：一个离散格点量子系统，不可能存在一种费米子能同时具备如下属性：厄米性 (hermiticity)、无加倍子 (no doubling)、局域性 (locality)、手征性 (chirality)。这种描述，实在是太高深了，没几个人能一下子看明白。用大白话说，就是一个量子体系，总是避免其整体看起来有反常现象 (anomaly)。如果出现了某种量子反常，则体系总是要产生出一些新的效应，来抵消这种反常。我们知道，费米子可以带手性 (chiral anomaly)。如果体系的费米子原本没有手性，但由于某种原因而出现了带某种手性的费米子，则体系一定会通过形成另外一种手性的费米子来冲抵，使得体系整体平均起来还是没有手性^_^。Ising 怎么看，都觉得这一现象有点像对称性破缺：例如，铁电点阵从高对称性的顺电点阵中产生。但是，一个孤立的有限体系，其铁电性会通过畴的形成而整体呈现“无铁电性”，以与高对称点阵对应。诸如此类的效应很多，无需枚举。这种大白话太粗糙，专业同行不必计较。熟悉一点拓扑量子材料的物理人，其实都知道如下两个例子：
(1) 费米子可以有手性，但在满足高度对称的格点点阵中，如果时空反演对称不破缺，则不应该存在手性费米子。但是，三维拓扑绝缘体的表面态，是自旋锁定的狄拉克金属。这样的表面态是可以有自旋手性的。只不过，动量相反的态其自旋方向也相反。也就是说，表面处费米子总是成对出现，对应于 fermion doubling 的要求。这样的拓扑体系中，狄拉克锥成对出现！此时，体系的拓扑不变量也一定是整数。
(2) 狄拉克费米子满足狄拉克方程，是四重对称的。如果让它的四重对称性破缺为两重对称性、形成外尔费米子的话，外尔费米子一定成对出现，因为外尔费米子是天然带手性的 (左手性或右手性)。成对的意思，就是指一个左手性外尔费米子一定联系有一个右手性费米子，联系之绳乃表面处的费米弧。此时，体系的拓扑不变量就是整数。
除了这些 fermion doubling 所带来的特征物理，关于这一问题也有些实验上的反证，很有价值。例如，今年上半年 (2022 年)《Nature Physics》就刊文报道日本东京大学知名学者 Y. Tokura 团队的一个实验工作 (M. Mogi et al, Nature Phys. 18, 390 (2022), https://www.nature.com/articles/s41567-021-01490-y)，展示了半整数的量子霍尔效应平台，也就是半整数的拓扑不变量，如图 2 所示。他们在非磁性拓扑绝缘体超薄膜的上表面，沉积了一层磁性拓扑绝缘体，造成此上表面出现能隙 (打破时间反演对称)，而下表面依然是自旋锁定的金属态。也就是说，这一上表面的费米子被局域化 (locality)，其中的 fermion doubling 必然缺失。结果真的如此，他们观测到了半整数的量子霍尔效应平台，也就是拓扑不变量变成半整数。南京大学宋凤麒教授团队在几年前似乎也有类似的实验结果，只是他们是通过团簇磁性掺杂拓扑绝缘体的一个表面，打破其时间反演对称性。这样的实验，虽然是通过外部干预来实现，并非体系本征性质，但也说明在 fermion doubling 不再被满足的体系中，有可能出现非整数的拓扑不变量。
图 2. Tokura 教授团队在 (Bi1-xSbx)2Te3上表面生长一层掺杂 Cr 的 (Bi1-xSbx)2Te3薄层，打破上表面的狄拉克金属态，从而得到半整数的量子霍尔平台，即拓扑不变量是半整数。
M. Mogi et al, Nature Phys. 18, 390 (2022), https://www.nature.com/articles/s41567-021-01490-y
如上举例所涉及的物理，自然有丰富的实验事实和意涵。而宋凤麒和 Tokura 他们通过外部操控而破坏体系本征性质后得到的结果，也很有启发。不过，这些结果与一个本征体系是否具有非整数拓扑不变量，还不是一回事。由此看，非整数的拓扑不变量这一问题，似乎变得严肃起来，值得物理人去斟酌评估一番。
事实上，此道高手早有关注此事，并沉吟探索很久。可能是未到成熟之时，他们没有更早地将此中风雅端出来让大家品尝。最近，来自香港大学物理系的量子凝聚态物理知名学者沈顺清教授及其团队，将他们一直关注此一问题的心得体会端到台前、展示给读者。沈老师浸淫拓扑量子物理研究多年，读者可能都知晓他那本《Topological insulator》的专著。某种程度上，我们能感觉到他的团队似乎一直在布局力量，关注这一领域存在的若干重要的未解问题。他们将其中一项工作刊发在《npj QM》上，仔细讨论了具有分数 (半整数) 拓扑不变量的拓扑量子态。他们称其为“量子反常半金属 quantum anomalous semimetals”的物理，正是回答如上这一问题的作品。
对沈老师他们这一“量子反常半金属”的详细内涵，读者自然该去阅读他们的原始论文。Ising 此处只是外行鼓噪，避重就轻、顾及皮毛而已。列举几行沈老师他们的物理推理：
(1) 按照 Nielsen – Ninomiya 定理，对于时空维度为偶数的 (如一维链+时间、三维晶格+时间) 晶格体系，如果满足厄米性、局域性、手征对称 (chirality)，就不可能存在单一无能隙费米子。体系必须是无能隙的 fermion doubling 体系，也就是说满足这些条件的拓扑体系一定呈现整数拓扑不变量。
(2) 从对称性角度，打破 Nielsen – Ninomiya 定理限制的最简单方法是，寻找手性反常的某种费米子，引入手性，打破手性对称。这里，具有手性的外尔半金属，不具备这一要求，因为那里的外尔点 (费米子) 总是成对的，由费米弧连接。类似的推理，也可以针对时空奇数维的体系进行定义。此时，宇称对称性 (parity symmetry) 破缺的体系，可能存在单一的、无能隙的费米子。
(3) 如果局限于从狄拉克费米子出发，进行对称性破缺炒作，应该很难实现只有单一无能隙费米子的体系。毕竟拓扑绝缘体、半金属和外尔半金属这些，都是源于狄拉克费米子的体系，也的确都是成对的无能隙费米子体系，其拓扑不变量必然都是整数。
有没有这样的费米子体系，具有单一的手性或破缺的宇称？如此，就可能得到半整数的拓扑不变量。沈顺清老师他们回答说有：即 Wilson 费米子体系。熟悉量子场论的读者，可能都知道什么是 Wilson 费米子，而不熟悉的读者可能听都没有听过这一名词。Ising 也是第一次听闻，便开始兜售，自然是捉襟见肘。所谓 Wilson 费米子，似乎是量子场论中的一种补漏之作：为处理狄拉克作用量从连续到晶格离散化时引起的、物理意义不明确的 fermion doubling 问题，可以对体系 Lagrangian 量进行补漏。而这样的晶格离散化，在处理电子高度局域化的晶格体系时又不可避免。为此，物理人的修正办法是，在 Lagrangian 量中加入所谓的 Wilson 项。此时这一体系的费米子称为 Wilson 费米子，两个例子如图 3(c) 和 3(d) 所示。这一费米子，即是具有手性或者宇称破缺的无能隙费米子，正好满足如上所列举的条件。最近也有物理人尝试利用冷原子体系，在这一费米子框架下量子模拟拓扑绝缘体，因此 Wilson 费米子对量子凝聚态也不是新手。
图 3. 沈顺清老师他们展示的部分分析结果：在正常和拓扑绝缘体之间的临界处出现了半整数的拓扑态 (a)，其色散关系显示于 (b)。两类 Wilson 费米子结构显示与 (c) 和 (d) 中。
这样的拓扑态体系，可由同伦群 (homotopy group) 来定义，其基本特征之一就是半整数拓扑不变量 (half-integer topological invariant)，位于正常绝缘体和拓扑绝缘体之间。正如图 3(a) 所示：从 trivial insulator 的拓扑不变量 (纵轴) 为 0，到 topological insulator 的拓扑不变量为 1，它们中间的临界点处有一个星号 * 点，即对应于拓扑不变量 0.5。这一讨论，预示出可以通过寻找两者之间的临界点，来实现这一新的拓扑物态。由此，在时空奇数维的体系中，就有分数化电极化和电磁极化特征；而时空偶数维的体系则具有半整数霍尔电导 (即霍尔平台)。对三维拓扑量子体系 (3D + 1T = 4 偶数维)，将可能实验观测到半整数霍尔平台。按照这一分类，宋凤麒他们和 Tokura 他们所研究的体系，也均属于此。
针对一维和二维体系，沈老师他们分别讨论了半整数拓扑对应的可观测物理量，包括体内和上下表面处的能带结构和输运行为 (例如边缘态电流分布和相反手性)，并预言了实际体系中与此关联的新颖物理、实现这些效应观测存在的可能挑战。除此之外，他们还在论文附录中讨论了其它打破 fermion doubling 条件的模式，如牺牲厄米性、时间反演对称。在诸如冷原子、光声超材料和复杂电路网络等若干人工体系中，也有实现这一半整数量子效应的潜在机会。
毫无疑问，Ising 以洪荒之力，写出这几段自己都不大懂的文字，已是惶恐不安。像沈老师这样的工作，与“量子材料”的主题词“材料”未必有那么紧密的联系，呈现更多的是拓扑量子材料大观园中那些未能被发掘的“高山远水”。但，这是一项有可能“春光乍泄”的理论梳理工作，给出了整数拓扑体系不具备的若干新物性、边缘态和动力学特征，当然值得《npj QM》承接。这一工作，也体现出作者思路缜密和高度专业性的推理。至于它能不能在未来得到实验佐证、或者能不能演生新的新奇物理效应，我们姑且等待时日、以观后效^_^。
雷打不动的结尾：Ising 是外行，如若理解错了，敬请谅解。各位有兴趣，还是请前往御览原文。原文链接信息如下：
Quantum anomalous semimetals
Bo Fu, Jin-Yu Zou, Zi-Ang Hu, Huan-Wen Wang & Shun-Qing Shen
npj Quantum Materials volume 7, Article number: 94 (2022)
https://www.nature.com/articles/s41535-022-00503-0
七律·访公山城堡
我若阳光叶若秋，我驰南道入山幽
几维颜色公州埠，几处枫丹古垒篝
抚史三国流水静，闻萧半岛锦笼讴
料得今夜千般谢，月落一泓照雨楼
备注：
(1) 编者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。
(2) 小文标题“那一半拓扑量子态”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是拔擢拓扑不变量乃半整数的拓扑量子态。可以看到，作者在多方位试图冲击 Nielsen-Ninomiya 定理。是否能够得到实验复现，那是物理人都期待的事情^_^。
(3) 文底图片乃拍摄于韩国公州市公山城，展示秋叶如火如荼 (20181113)。小诗 (20181113) 原本记录从韩国大田一路南下拜访公州市公山城的历程 (据传，公元660年，大唐王朝于此城建都督府)。此处致敬沈顺清老师他们所彰显之物理风格！
(4) 封面图片取自 Goethe-Universität Frankfurt 的 Junhui Zhang 博士一篇论文 (J. H. Zhang et al, PRA 101, 013631 (2020), https://doi.org/10.1103/PhysRevA.101.013631)。该论文内容与本文及沈老师的论文内容无关，这里只是用来形象表达球面的半占据和拓扑不变量的半整数。
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