多解培优 | 一道中考压轴题的多种解法（精选）
作者：陈龙彬；广东省广东实验中学附属天河学校
圆的综合性问题在各地中考中都是热门考查的内容，其综合程度之高，往往令很多学生感到头疼无从下笔，特别是对一些一眼看不出任何思路的问题时，更加感到为难、茫然.本文笔者以数学的思想为指南，对一道圆的综合问题进行数学解题的分析。
本文重点对第(2) 问进行研究, 该等式的结构较为复杂,显然出题者想考查学生的转化思想, 将复杂的问题转化为熟练的问题来解决. 为此我们作出以下的思考:
(1) 已知的条件是什么?
AB 是⊙O 的直径, 弧AC = 弧BC, CD 是⊙O 的是弦.
(2) 求证的是什么?
求证的是关于线段的恒等式。
(3) 求证式有什么特点?
等式的左边是两线段的平方差, 等式的右边是线段的乘积, 等式的左右两边都有线段CE。
(4) 怎样证明该恒等式?
常用的证明恒等式方法有从左至右(或从右至左) 证明、作差法、因式分解法等, 而该等式是附加条件的恒等式, 所以在证明过程中一定要注意结合条件以及图形, 采取不同的方法以达到证明的目的。
【解题回顾】证明等式的一种常用方法，就是证明等式的左右两边都等于同一个式子或数，解法一正是利用这种方法，将等式左右两边用同个一式子表示，而在圆中比较特殊的线段就是半径，所以这个式子也比较容易想联想到用半径。若注意到等式两边都有线段CE, 则有以下解法。
【解题回顾】解法二是利用提取公因式的方法把等式的两边转化为两条线段的乘积的形式, 而等式两边是两条线段的乘积的形式容易联想到证明相似三角形, 然后利用相似三角形的性质来解决. 注意到等式左边是两线段的平方差, 亦可以考虑到用平方差公式进行因式分解, 于是有以下解法.
解法一至解法四并没有过多地关注点D的位置，而事实上由已知条件可知点A、B、C 是定点，点D是半圆弧AB(不包括端点A、B) 上的动点. 若点D在移动时，利用几何画板我们可以发现有如下结论。
由解法研究到所得到的3个结论, 我们可以发现始终都有条件弧AC=弧BC，而该条件可知∠B=45°。我们可以进一步思考，∠B变化时, BC²−CE²=CE·DE 是否还成立. 为了验证该结论是否成立, 我们尝试再用特殊角来研究。
选取本题, 它涉及中学几何的重点内容，又是各地中考综合题中重点考查内容，有一定的典型性和新鲜感，最后的结论也让我们对本题的认识提升了一个高度。对于解题案例研究的方法有多种，本例通过一题多解，步步推进，深度挖掘，高观点总结，这告诉我们作为中学数学教师不能仅仅停留于中考题目的解答，而是要从多个角度去分析和解决问题。在多数的中学数学的问题中，它们往往是一些高等数学中的特殊情况，这就需要教师有更高观点去审视问题，教师只有不断地思考和阅读，才能增进专业知识和增强专业技能，才能更好地驾驭中学数学知识，才能更好地帮助学生构建数学知识框架，才能培养学生的解题能力。
通过一题多解的教学，能使学生多角度地思考数学问题，而在学生掌握通性通法的前提下，一题多解能够培养学生的发散思维，提高学生的数学核心素养，这是新课标对学生的基本要求。社会需要创新性人才，而只以“一法”走天下的教学理念难以培养出创新人才，所以教师在教会学生通性通法后，应当自觉地引导学生从多角度去分析问题，培养学生的发散思维，特别是进行解题教学前，应事先考虑能否进行一题多解，然后在教学中创设问题，让学生在既得的通性通法后，调动学生解题的积极性，培养学生的创新性。
罗增儒教授说过，谁也没法教会我们所有的题目，重要的是通过有限道题目去领悟那种可以解决无限道题的素养，这就要求教师先跳进“题海”，然后帮助学生跳出“题海”，要想帮助学生逃离“题海”，这就要求老师有相应的数学素养去对题目进行专业的解题分析。
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