洪一平——一道方程有三个实根求参数取值范围试题的解法

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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“文章来源：邹生书数学”等字样。洪一平，83年毕业于浙江大学数学系，后在某学院任高数助教，89年获浙大数学系硕士学位。现任教于浙江省一级重点学校、国家级外语实验学校、浙江省现代教育技术实验学校——平阳中学，数学高级教师。《数学解题与写作交流群》大家公认的解题高手、数学名师和答疑解难热心人，群里朋友纷纷加他为微信好友以便进一步交流学习。洪一平老师是一位很受师生尊重和欢迎的好教师。

一道方程有三个实根求参数取值范围

试题的解法

浙江平阳中学     洪一平

14.若关于x的方程2a|x-2|-ae^–x=(x-2)²e^x有且仅有3个不同实数解, 则实数a的取值范围是_________

解: 设m=|x-2|e^x≥0, 则x=1是极大值点, x=2是极小值点(尖点), 

当x®-∞时,m®0;当x®+∞时, m®+∞.故当m>e或m=0时, 

方程m=|x-2|e^x有一个解;当m=e时,方程m=|x-2|e^x有二个解; 

当0<m<e时,方程m=|x-2|e^x有三个解; 当m<0时, 方程m=|x-2|e^x无解.

又原方程等价于m²-2am+a=0, 要使原方程有且仅有3个不同的实数解,等价于关于m的方程m²-2am+a=0在(0, e)上有相等的实根, 或有一个负根且在(0, e)上有一个正根, 或有一个根为e, 另一个根为0或大于e, 

   上面洪老师的解法很简略，省略了不少细节，不知道读者朋友读懂了没有?如果没有完全读懂，不妨按照洪老师的思路做一下，看能否把略去的部分补回来，如若还有困难，就看看下面编者对洪老师这一解法给出的详细解读吧！

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