柴淑兰、王丽敏——例说三角形中最值问题的常用处理策略

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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例说三角形中最值问题的常用处理策略

柴淑兰         王丽敏

山西省朔州市朔城区一中 

一个三角形有三个角三条边共六个元素，三内角之和为π、正、余弦定理，又使其元素之间内部存在特有的等量关系，加上三角形面积公式、三角各种公式关系的变换、转化，以及基本不等式，使得三角形中最值问题的研究成为一个重要的热点话题。本文列举几例探究其常用的处理策略。

例1：在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则

tanB+2tanC的最小值为    。

解法一（消元法）：

先消A，再建立tanB与tanC的关系，最后用tanB表示tanC，转化为关于tanC的函数，求最值。

例3：如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为75°的扇形，点A、B、C分别是半径OP，OQ及扇形弧上得三个动点（不同于O、P、Q三点），则△ABC周长的最小值是（  ）。

小结：利用对称性，将△ABC三条边展成一条折线去研究。

小结：因为边角关系中只有角的余弦，所以用余弦定理统一为边的关系，再用余

弦定理研究角B的余弦，用基本不等式求其最小值，从而得到对应B的最大值！

小结：动点P在一圆弧上运动，引入一个“角”作为变量，将研究对象表示为角

的三角函数，在其定义域下求最值！

变式思考：将△ABC改为锐角三角形，求△ABC面积、周长的取值范围。

小结：已知一个三角形的一对边和角，求其面积或者周长的最大值，是一种很常

规的问题，常用办法有三种：

1、利用正、余弦定理转化为边，最后用基本不等式求最值；

2、利用平面几何知识，数形结合，求最值；

3、利用正、余弦定理转化为角，利用三内角和为π，通过消元转化为一个角的三角函数，求最值。

  总之，解三角形问题，利用正余弦定理，三角形三内角和为π，以及三角恒等变换，将问题最终化为一个变量的函数，或者利用基本不等式求最值。

作者文章链接：

柴淑兰，山西省朔州市朔城区一中数学教师，副高级职称，省学科带头人，区教学能手，学科名师、优秀班主任、师德标兵，从教29年，坚持工作在教学第一线，主持年级教学工作，兼任班主任，工作踏实，教学风格严谨细致，注重基础，追本溯源，管理班级粗中有细游刃有余，深得学生敬重和家长好评。

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