李尚志——维纳斯故伎重演，变身数列懵考生

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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引  子

去年高考数学“维纳斯”问题广受评议，著名数学家、数学教育家李尚志教授（北京航天航空大学教授，博士生导师，我国首批18名博士之一，首届“国家级教学名师奖”获得者，曾任中国科技大学数学系主任、北京航天航空大学理学院院长。）通过朋友圈发表了自己的观点，本号受权发布了李教授的“三评维纳斯”。

2020年高考数学3卷（理）数列，李教授再次以“换汤换碗不换药”点评并发在朋友圈内，现受权发布如下，与广大数学爱好者分享。

李尚志教授点评

这个数列题挺好。不是挺好，是极好。考的不是数列，是识别“换汤换碗不换药”。如果用数学归纳法，并不难。前提是你会正确使用数学归纳法。

假如你猜到an=2n+1，只要证明数列bn=an-(2n+1)是常数0就行了。

这个想法可能很多考生没见过，但遇到一次就容易理解，终身难忘。

你就强行凑 b{n+1}= a{n+1}-[2(n+1)+1]= 3an-4n-2n-3=3[an-(2n+1)]= 3bn, 于是bn是公比为3的等比数列。求出首项就行。但首项b1=0，所有各项都为0。这有什么难度呢？难度在于：如果写 a{n+1}=3an ，都看得出an组成等比数列。换成b{n+1}=3bn就看不出了。写成 a{n+1}-(2n+3)= 3[an-3(2n+1)] 就更看不出来了。

其实这三个都是一回事，是换汤换碗不换药。你要训练学生不是让他熟悉等比数列，而是让他识别不同汤碗中的相同药。本题要训练的只有一点：把 an-(2n+1)看成另一个数列bn的通项。并且会写出下一项 b{n+1}。这就够了。大部分学生缺的就是这么一点点，这一点就可以让他落榜。

去年高考题出维纳斯，我就讲了“换汤换碗不换药”，维纳斯其实是几何线段ABCD。今年维纳斯摇身一变变成数列，与去年的维纳斯同一个套路，坑同一批老师培养的另一届学生。专考只背汤不识药的老师培养的学生。

要改变老师很难，但学生则可以自救，不听老师的，不必同归于尽。

证明数列的通项公式，最简单的想法就是：原数列减去这个通项公式的数列，证明差数列是零数列。为此，需要将已知条件所说原数列的性质改造成差数列的性质。

为考生着想，出题人已经让考生做(1)小题猜出数列的通项公式，第(2)小题就是证明通项公式，只要证明差数列是零数列。如果没有第(1)小题，我建议的做法是：容易验证这个数列相邻两项差d{n}组成的数列满足d{n+1}=3d{n}-4。这样的数列通项我专门有文章讲过的：d{n} 各项同加待定常数x可以将-4化掉，变成等比数列。计算得出x=-2，也可直接凑出d{n+1}-2=3(d{n}-2), 于是d{n}-2是公比为2的等比数列。本题易算出d1=2，这个等比数列首项为0，全为0。d{n}全为2。原数列是公差为2的等差数列。我的书《数学的神韵》6.7节“银行贷款的还款方式”就讲了“等额本息法”就是由递推关系a{k+1}=(1+p)a{k}-c求通项公式。

这道题那个a{n+1}=3a{n}+...明显与公比为3的等比数列有关, 但最后的答案却与等比数列没关系是因为出题人把等比数列的首项设置为0了。这个首项不为0，考生很难猜出通项。我一贯反对猜数列。但猜了之后用字母运算加以证明，这是应该提倡的。

不完全归纳法不应提倡而应泼冷水。既然是不完全归纳，根本不能叫“法”，只能是猜测。本题不是“凸显不完全归纳法最优”，而是说不完全归纳不靠谱，必须通过字母运算来证明或推翻。这才是对的。小编是最狂热鼓吹不完全归纳的。发个帖子说某地有人吃鱼毒死了，你还敢吃鱼吗。养生专家短命了，你还敢养生吗？鼓吹不完全归纳的都是小编的信徒。这些无耻小编都是不完全归纳法培养的孽种。

            文章转自：罒廴宀讲数学

2020年高考试题与解答研究文章链接：

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