刘 锐——​对两条直线位置关系一个探讨过程的再认识

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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对两条直线位置关系一个探讨

过程的再认识

辽宁沈阳二中   刘 锐

方程（3）的解x为任意实数，方程（4）解y为任意实数，所以方程组（Ⅱ）有无数组解，因而方程组（Ⅰ）有无数组解，这时，两条直线重合。

      我曾把这个处理展示给学生，并指出这个处理是有问题的，要求指出其中的不妥之处，并改正之。

  大部分学生经过认真思考后指出，在③中，当A₁B₂-A₂B₁=0，而B₁C₂-B₂C₁=0, 且A₁C₂-A₂C₁=0时，方程（3）的解x为任意实数，方程（4）解y为任意实数，所以方程组（Ⅱ）有无数组解不确切，准确的说是{(x,y)|x€R,y€R}，即直角坐标平面xOy中的所有点的坐标，也就是两条直线公共点遍布整个直角坐标平面，这显然是荒唐的，因为平面内任意两条直线的位置关系就有相交、平行和重合，公共点至多也就一条直线的所有点，这样再去建立方程组（Ⅰ）有无数组解，进而给出两条直线重合的结论当然不妥。所以③中是有问题的。①和②中发现什么问题的。

  那么如何解决③中的问题呢？既然当A₁B₂-A₂B₁=0，而B₁C₂-B₂C₁=0, 且A₁C₂-A₂C₁=0,时，得到方程组（Ⅱ）的解集{(x,y)|x€R,y€R}是没有问题的，由此得到两条直线公共点遍布整个直角坐标平面也是没有问题的，那么我们就有理由怀疑利用方程组（Ⅱ）来替代对方程组（Ⅰ）的环节出现问题了！

事实上，在A₁B₂-A₂B₁=0时，（Ⅰ）与（Ⅱ）并不等价，（Ⅰ）可以推出（Ⅱ），而（Ⅱ）不能推出（Ⅰ），这样③中出现公共点是整个坐标平面就容易理解了，可能是必要性条件所致；同时我们也会产生对②的担忧！既然（Ⅰ）与（Ⅱ）并不等价，②立足于（Ⅱ）的结论当然值得再审视；而①立足于A₁B₂-A₂B₁≠0应该没有问题的，因为此时（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

首先我们来看②中工作，由于（Ⅰ）可以推出（Ⅱ），因此当（Ⅱ）无解时，是可以推断（Ⅰ）是无解的，这样看来②中的结论没有问题，不过很侥幸啊！倘若（Ⅱ）中有解，我们就必须去甄别这些解中哪些是（Ⅰ）的解，哪些不是（Ⅰ）的解，幸运源于（Ⅱ）中无解。

其次关于③中的问题的改正，此时一个路径是对方程组（Ⅱ）的解集{(x,y)|x€R,y€R}进行甄别，再一个路径是放弃方程组（Ⅱ），直接回到方程组（Ⅰ）中，我们采用后者进行改正：

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