基于学情 顺势而为 ---《圆的面积》教学设计

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刘士峰老师很爱思考，有自己建立的刘士峰小学数学工作室，华东六省一市一等奖获得者，山东省数学优质课一等奖。此课是刘士峰老师参加优质课评选的课，获得了一等奖。过去了几年年，以现在的视角和标准审视，有很多的不足，那它还有可取之处吗？以下几个方面也许还有点价值：对学情的合理把握，对儿童的关注，对数学思维的重视，对数学思想方法的渗透。

教学内容：

人教版小学数学六年级下册67、68页

教学目标：

1、使学生理解和掌握圆的面积计算公式，沟通圆与其他图形之间的联系，培养学生观察、分析、概括的能力以及逻辑推理、空间想象能力。

2、引导学生进行尝试，并利用已有知识，运用数学思想方法，把圆转化成已有知识，经历推导圆面积计算公式的过程，渗透极限、转化、化曲为直等数学思想方法。

3、培养学生大胆尝试、认真观察、深入思考的良好思维品质，锻炼学生面对困难勇于克服的精神。

教学重点：

经历圆面积公式的推导过程，并会简单应用。

教学难点：

如何将圆转化为已知图形进行面积公式的推导。

教具准备：

圆形纸片、课件

教学过程：

一、创设情境，导入新课

出示图片：

师：为了节约水资源，现在许多地方都用上了这种喷灌设备，如果这个喷灌设备旋转一周，会形成一个什么图形？

生：圆

师：如果要求它能喷灌的面积是多大实际上是求谁的面积？

生：圆

师：这节课我们就来研究圆的面积。

【设计意图：利用生活中学生比较常见的情境，引入新课，力求简洁高效，同时让学生感受研究圆的面积的必要性。】

二、尝试探索

师：现在我们用手中的圆形纸片来代表题目中的圆进行研究。请同学们指一指什么是圆的面积？（生指着圆片描述）

师：圆的面积就是圆所占平面的大小。

师：请同学们在想一想圆的面积应该和谁有关系呢？

生：我认为应该和圆的直径或半径有关系。

（利用圆规，回忆画圆的过程）

师：那么圆的面积和半径之间究竟有怎样的关系或者说圆的面积到底应该怎样计算呢？请同学试一试，看看能不能找到一种办法求出圆的面积。

（生尝试）

师：老师看到有的同学没有思路，有的同学在测量一些数据，但是不知道接下来该怎么办，还有的一些同学做了一些尝试，也许这些同学的尝试能给我们一些启发。

生（边展示边讲解）：我是把圆对折了两次。

师：刚才这位同学把圆对折了两次，有了突破，他改变了圆原有的形状，如果我们沿着他的这个思路，继续对折，也许我们有新的发现。同学们再试一试。

（生继续对折）

生：我发现对折的次数越多，折成的图形越想三角形。

师：请同学们把圆形纸片打开，有什么发现？

生：现在圆变成了很多的三角形。

师：它是三角形吗？

生：不是，它的底还是有弧度的。

师：我们可以称他们为近似三角形。如果我们继续对折下去，会怎么样？

生：底越来越直，越来越像三角形。

师：请同学们闭上眼睛，想象一下，继续对折下去会是怎样？

（师描述：16份、32份、64份、128份）

课件演示，印证想象。

出示问题：

请同学们观察并思考：

1、这些近似三角形的面积和圆的面积之间有什么关系？

2、近似三角形的底、高分别和圆的哪一部分有关系？有什么关系？

反馈：

生：近似三角形的总面积和圆的面积相等。

生：一个近似三角形的面积×份数=圆的面积。

生：近似三角形的底相当于圆周长的一部分，可以用圆的周长÷份数

生:近似三角形的高相当于圆的半径。

……

师：那你能用一个式子表示出圆的面积吗？

反馈：C÷16×R÷2×16   C÷32×R÷2×32  2πR÷128×R×128

师：如果给你一个数据，能不能算出圆的面积？

生：能

出示数据：r=3cm（生计算）

反馈：很少几个同学算出了正确答案。

师：通过自己的努力得出了正确的结果，找到了计算圆面积的方法，心里一定很兴奋，在计算的时候，有什么感觉？

生：很麻烦。

师：是呀，原来我们学过的公式没有这么麻烦的，也许他可以“减减肥”？观察一下上面的式子有什么发现？

生：÷份数和×份数可以抵消。

生：2πr÷2也可以化简。

（自己尝试化简，生展示）

师：看来我们把圆转化成近似三角形可以推到出圆的面积公式。真的很感谢那些勇于尝试的同学，给我们提供了一个这么好的思路。

【设计意图：在教学前，找了不同班级的学生进行了调查，结果表明，大部分学生都是出于一种本能，将圆形纸片进行对折，并没有出现教材中所涉及的方法“剪拼成平行四边形”，可见“剪拼”法并不是学生思维的原始点，这种方法对于学生来讲是比较困难的；而且我也做过尝试，如果进行剪拼，操作起来是非常麻烦的。因此我确定以学生最原始的思维方法“把圆形纸片对折”为研究探索的切入点，以把圆转化成近似三角形为突破口，引领学生的探索。

在初步探索出圆的面积计算方法后，给予半径的具体数值，让学生进行计算，感受计算时是比较麻烦，发自内心的想对于计算方法进行进一步化简的愿望，然后通过观察，自主进行化简。】

三、建立联系。

师：我们刚才的办法和我国古代的一位数学家的想法很相近，我们一起来看一下。

四、转换思路，再次推导。

师：既然能够转化成近似三角形来推导圆的面积公式，那能不能把圆转化成其他图形呢？

生：能。

师：有的人在我们把圆等分成许多近似三角形的基础上进行了这样的尝试。请看。

（分别出示16等分、32等分、64等分、128等分的圆拼成的图形）

生：把圆分的份数越多，拼成的越来越像长方形。

师：也就是通过剪、拼可以把圆转化成近似的长方形。

观察：

1、近似长方形的面积和圆的面积之间有什么关系？

2、近似长方形的长、宽和圆之间有什么关系？

反馈：

生：近似长方形的面积和圆的面积相等，长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。

生：长方形的面积是C÷2×r,也可以化简。

【设计意图：在通过把圆转化成近似三角形，探索出圆的面积计算方法的基础上，进一步感受用不同方法也能探索，感受方法的多样性和一致性，加深对于转化思想的认识和体验。】

五、再次拓展思路。

师：除了可以把圆转化成近似三角形和近似长方形外，还可以把圆转化成下面的两种图形来进行公式的推导。

师：只不过在拼成近似三角形的时候，对于把圆平均分成的份数有着特殊的要求，它必须是9份、16份、25份…以我们目前的知识还无法很好的解决，有兴趣的同学可以课后尝试一下。

【设计意图：以上两种方法同样能够探索出圆的面积计算公式，但是它们具有局限性，因此只是让学生了解，体会方法的多样性。】

六、回顾探索过程

转化：把圆这个曲面图形转化成近似三角形、近似长方形这样的直线型图形，实现了化曲为直。

找关系：面积、底、高（长、宽）和圆之间的关系

推导公式：

师：这样的探索过程并不只是推导圆的面积公式才用的，它在我们数学学习的过程中有着广泛的应用。

【设计意图：数学的学习并非知识单纯的知识探究，更重要的是数学方法的掌握和数学思想的理解应用，通过对于探索过程的梳理，让学生进一步理解和体会遇到新问题的时候，我们如何进行探索，为学生的数学学习奠定方法的基础。】

七、简单应用。

1、公园草地上的一个自动喷灌装置的射程是10米，它能喷灌的面积是多少？

2、刘老师买了一个直径2米的圆桌，想配一块玻璃放在上面，应裁一块面积多大的玻璃合适？

八、回顾整理

师：时间总是过得飞快，40分钟的时间马上就要到了，说一说你都有哪些收获？

生：我学会了求圆的面积的方法。

生：我知道了可以用转化的方法解决不知道的问题。

……

师：是的，知识很重要，探索知识的方法更重要。

来源：刘士峰小学数学工作室

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