高中数学新授课课堂实录：任意角的三角函数（视频）及教学设计
如果觉得内容不错，希望能够帮忙转发分享，让更多朋友受益，主要文章有：中高考备考讲座，命题研究，解题技巧，学习方法，职业规划专题，初高中数学微课等文章。更多优质内容可关注公众号后，查看历史消息。
CCTV纪录片 | 数学大片《被数学选中的人》（视频1—4集全）
本平台已累计分享500余篇专题讲座类文章，可点下方公众号主页，关注公众号后，查看历史消息。
高中数学新授课课堂实录：三角函数的诱导公式（视频）及教学设计
研讨素材一
“任意角三角函数的概念”的教学设计
齐齐哈尔市第六中学 宋琼
一、教学内容解析
这是一节关于任意角的三角函数的概念课。
三角函数是高中范围内即指数函数、对数函数和幂函数之后的最后学习的函数，是函数的一个下位概念，与指对数函数、幂函数属于同一抽象（概括）层次。它是一种重要的基本初等函数，是解决实际问题的重要工具，也是学习数学中其他知识内容的基础。
在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上，随着角的概念的推广，引入弧度制，相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助，这里体现了数形结合的思想，由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数，再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数，直至得到任意角的三角函数的定义，体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的概念是本节课的重点，能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键
二、教学目标设置
1、借助终边上一点的坐标理解任意角三角函数的定义：
（1）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示锐角三角函数；
（2）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示任意角的三角函数；
2、借助单位圆理解任意角三角函数的定义：
（3）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数；
（4）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示任意角的三角函数；
3、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。
4、在借助单位圆认识任意角三角函数概念的过程中，体会数学结合思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。
三、学生学情分析
1、学生在利用终边上一点的坐标表示锐角三角函数时可能存在障碍，因为之前掌握的是用直角三角形的边长的比值来表示的，要克服这个困难，关键是引导学生联系之前新学的内容，怎样把角放在坐标系内，怎样做出三角形，帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有过边长的比值的联系。
2、学生在如何使终边上一点的坐标表示锐角三角函数的表达式变得更简洁的这个节点处，联想不到使用单位圆，因为以前没有接触过单位圆，而且单位长度也很少涉及过，针对这个问题，应引导学生利用相似三角形的知识来转换，无论点P在何位置，其三角函数值唯一确定，那选在终边与单位圆的交点处，表达式就更简单了。
3、学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到任意角的三角函数时，还可能出现障碍，主要原因是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题，要帮助学生克服这一困难，就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标表示三角函数，就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角三角函数的问题。用单位圆定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质，还能定义任意角的三角函数。
四、教学策略分析
为了加强学生对任意角三角函数概念的理解，帮助学生在理解概念过程中可能遇到的障碍，本节课使用PPT与白板相结合。使用探究式，提出一系列问题，通过学生的积极思考，使学生发现问题，并能通过努力解决问题，给学生以成功的体验。
五、教学过程设计
（一）教学基本流程
（二）教学情境
1.复习锐角三角函数的定义
探究1 ：下列四个图像中，哪些是函数的图像，哪些不是？若是函数的图像，请说明理由。
设计意图：通过该问题，帮助学生回忆函数的定义，从而引出该节课的授课内容。
问题1.1：在初中，我们已经学习过锐角三角函数，还记得是怎样定义的吗？
问题1.2:在锐角三角函数的定义中，自变量是什么，函数值是什么？
设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。
师生活动：教师提出问题并在白板上给出一个直角三角形，学生思考并回答。
2、终边上点坐标表示的锐角三角函数
探究2:根据初中所学习的三角函数的知识，你能求出
问题2.1我们不妨把一个锐角放在坐标系内，看看根据初中所学，你能不能找到解决问题的途径？
以此引导学生想到在终边上取一点，然后向
学生可能还用边长的比值来表示三角函数值，那么需进一步设问启发学生思考：
我们把角放在坐标系内来进行研究，目的是什么呢？借助坐标系，可以把几何问题代数化，可以用坐标表示点，表示线段的长。
这时学生能意识到用坐标表示三角函数值了。这里渗透了数形结合的思想。
问题2.2：请大家思考一个问题：如果在锐角
问题2.3：通过以上探究你有什么发现？锐角
探究3：通过以上探究，同学们能否在角的终边上找到一个合适的点
设计意图：为引入单位圆进行铺垫。
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论，如果学生能回答出使
至此学生可能说出新的表达式。
3、单位圆上的点坐标表示的锐角三角函数
由上一环节得到单位圆上的点坐标表示的锐角三角函数：
探究4：同学们想一想：这组定义式中的变量分别是什么呢？
设计意图：引导学生分析三角函数的自变量和因变量，从而体会函数中自变量和函数值之间的依存关系，体会函数的概念。
师生活动：教师引领学生分析对任意的锐角
4、推广至任意角三角函数的概念
探究5：在之前的探究中我们已经掌握了锐角三角函数的定义了，那么，对任意角的三角函数还能沿用此定义吗？同学们可以大胆地去猜想，进行开放式的讨论。
设计意图：抛出问题让学生思考，他们觉得可以，但又不能肯定回答，这时需要教师的释疑。
师生活动：在学生回答的基础上，教师给出肯定回答。给出任意角三角函数的定义。
任意角的三角函数的定义：
设
（1）
（2）
（3）
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
例1．已知角
设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义来解决不同的问题，加深对定义的理解。
师生活动在完成本题的基础上，通过下列变式引导学生对三角函数概念作进一步的认识。
变式1 求
变式2已知角
此处用实物投影展示学生的解题过程，并由学生进行讲解。
5、进一步理解任意角三角函数的概念
以上几个习题同学们都做得不错，那下面我们继续进行我们的探究之旅。
探究6：你能根据三角函数的定义，给出正弦、余弦和正切在弧度制下的定义域吗？
设计意图：研究一个函数，就是研究其三要素，而三要素中最本质的则是定义域和对应法则。而三角函数的对应法则由定义给出，所以给出定义后，就要通过定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时也帮助学生进一步理解三角函数的概念。
师生活动：学生求出定义域，教师整理。
问题6.1：你还能根据定义确定三角函数在各个象限内的符号吗？
设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各个象限的符号的变化规律，进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想。
师生活动：学生回答，教师进行整理。
例2求证：（1）当不等式组
（2）当角
探究7：通过定义你能计算下列三角函数值吗？
问题7.1：为什么它们的值是相等的呢？
问题7.2：通过上面的计算你能得出一般性的结论呢？对余弦和正切也依然适用吗？
设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想。
师生活动：在教师的引导下，学生讨论完成。
练习3，求下列各角的三角函数值
（1）
设计意图：让学生熟悉和记忆公式一，进一步理解三角函数的概念。
师生活动：学生做答，教师点评。
6.小结
教师提问：这节课，同学们都有哪些收获？
设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。
师生活动：学生回答，若不完整，再请其他的同学进行补充。
7.作业
书后练习题。
设计意图：通过作业帮助学生进一步理解任意角三角函数的概念，并检测学生对本节课内容的掌握程度。
研讨素材二
“任意角的三角函数”第一课时教学设计
江西省临川第二中学 蔡磊
一、教学内容解析
1、本节课是人教A版《数学4》第一章“三角函数”中的“任意角的三角函数（第一课时）”，其重点内容是任意角的三角函数概念的建构.通过引入直角坐标系，实现用锐角终边上点的坐标表示锐角的三角函数值（坐标化）；随着单位圆的引入（形式优化），进而引导学生注意到在单位圆中，锐角和单位圆上的点有对应关系，因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，从而发现锐角的弧度数和单位圆上点的坐标之间形成函数关系（函数化）；最终形成任意角的三角函数的概念（一般化）.之后，通过例题闯关，应用了概念，加强了对概念的理解（概念理解强化）.
2、任意角的三角函数是三角学内容的基础，是后续内容学习的思维起点，是整个三角学认知结构的生长点.它的学习既是学科系统内部知识发展的需要，又是坐标思想、数形结合思想的载体，更是对函数概念理解和认识的一次升华.学习过程中的认知冲突，容易激发学生思维的积极性，有助于探究、创新能力的培养.由锐角三角函数的定义到任意角三角函数的定义是学生认识上的突破，也是体会特殊到一般思想的良好素材.
二、教学目标设置
1、知识与技能：①借助单位圆让学生认识和理解任意角的三角函数的定义②让学生能根据定义判定三角函数的符号③让学生知道公式一，并由此体会三角函数的周期性特点.
2、过程与方法：①通过回忆初中的锐角三角函数定义，发现角概念推广后其局限性，必须寻找其它方式定义；②在形成新的锐角三角函数定义的过程中领悟坐标法的优越性，加深对函数概念的理解；③由特殊到一般的思想推广到任意角的三角函数定义；④通过探究任意角正弦函数定义，类比得到任意角的余弦函数和正切函数，培养学生类比分析的能力；⑤通过对三角函数值在各个象限符号的确定，培养学生利用规律解决问题的意识；⑥通过对公式一的学习，培养学生数形结合的意识，让学生体会三角函数的周期性.
3、情感态度与价值观：①培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；②通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂，培养学生团队合作的意识；③通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思维的能力.
三、教学重点
1、对任意角的三角函数定义的理解；2、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内符号的确定；3、三角函数的周期性特点（公式一）.
四、教学难点
任意角的三角函数概念的建构过程.
五、学生学情分析
学生在初中学习的锐角三角函数是以锐角为自变量，以边的比值为函数值的函数，以及高中学习过的函数的定义和任意角及弧度制，这些是学生学习任意角的三角函数知识的基础和依据.本节课从研究锐角三角函数的概念出发，更容易激发学生学习的热情，从而催生学生创造性思维.在概念建构的过程中，学生必需经历由特殊到一般的认识过程以及把新的概念纳入到一般函数的结构之中，这是认知过程的一道坎，又是认知的一次升华.
六、教学策略分析
本课采用“引”“探”相结合的方式，将问题以问题串的形式展现，让学生在愤悱中形成认知冲突，体会、感悟数学研究的一般思路和方法. 课堂中以学生为主体，将学生分成若干小组，使学生全员参与课堂，通过学生之间合作交流，教师间或参与学生的讨论，对有困惑的小组或者个别学生进行帮助和引导，培养学生主动探究新知识的能力.此外，为了提高教学效果，使课堂教学更生动形象，利用多媒体课件进行教学.
七、教学过程
（一）创设情境，导入新课
（问题1到问题2是温故知新化过程）
问题1 初中我们在直角三角形中学习过锐角三角函数，你能回忆出初中锐角的正弦、余弦、正切函数是怎样定义的吗？你能说出它们的自变量是什么，又以什么为函数值呢？自变量的范围是什么？
设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然.
设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然
问题2 在高中，随着角的概念的推广和弧度制的引入，角的范围变成了全体实数，那么对于任意角
设计意图：利用角
（二）提出问题，探求新知
（问题3到问题5是定义坐标化过程）
问题3 中国有句古话说的好，“工欲善其事，必先利其器”.随着角的概念推广和弧度制的引入，我们一般借助什么工具来研究角？
设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠定研究的基础.
问题4 我们先研究哪种角呢？是直接研究任意角的情形还是先研究锐角的情形呢？
设计意图：以锐角三角函数的研究为本节课知识的“生长点”，这样的研究符合学生的认知规律，学生有思考的落脚点，更能够激发学生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本节课任意角三角函数概念的建构这一教学难点.
问题5 对于任意角
设计意图：把锐角
（问题6到问题7是表达式形式优化过程）
问题6 当锐角
设计意图：问正弦值这一种情况，方便师生研究.余弦值和正切值可以类比得到，更方便学生理解（下面有类似问法也是同样考虑）;由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三角函数值. 这是为单位圆定义的提出做好铺垫.
问题7 数学追求“简洁美”，既然这三个比值与终边上点
设计意图：通过问题的形式过渡，自然得出单位圆的概念.由此便可顺势得出
（问题8到问题10是函数化过程）
问题8 当锐角
设计意图：初中学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内涵，突出了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要环节，是准确理解三角函数概念的关键.
问题9 你能给这个函数（任意锐角
设计意图：只单问一个函数，可以方便学生思考，也方便师生共同总结，还可以让学生在自行总结任意角的三角函数概念时有参照对象.
问题10 既然是函数，你能说出锐角
设计意图：让学生能更好的理解锐角三角函数的定义，同时为总结任意角三角函数定义打好基础.
（问题11到问题12是特殊到一般化过程）
问题11 我们现在得到的锐角三角函数的定义和初中所学锐角三角函数定义有什么区别？
设计意图：加强学生对新的定义方式的理解，让学生意识到任意角没有“斜边”，但是有“始边”、“终边”，从而发现对于任意角，如果始边放在
问题12 由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗？（教师在与学生交流中，板书定义）
设计意图：利用类比、迁移的认知规律，学生容易给出任意角的三角函数定义.学生可以意识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角三角函数是锐角三角函数的自然延伸.
（三）分析思考，加深理解
（下列问题是概念理解强化过程）
问题13 既然它们是函数，就要注意其定义域，它是函数的“生命之域”，那么正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？
设计意图：因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数，强调了其函数属性.
问题14 当
设计意图：对比锐角三角函数，让学生再次回忆任意角三角函数的定义，培养学生利用规律解决问题的意识.
设置一个阅读环节，让学生阅读“三角函数名称由来简史”
设计意图：通过三角知识简史的阅读，让学生有新奇感，同时提高课堂的数学文化感，让学生感知数学是源于生活的.以此，进一步激发学生的学习热情
（四）强化训练，巩固双基
第一关 求
设计意图：将例题以闯关的形式呈现，和综艺节目设置相似，寓教于乐，能激发学生的学习热情；明确已知角的终边，要求其三角函数值，可以先求终边与单位圆的交点坐标，通过运用概念，巩固对概念的理解.
问题15 （追问）求
设计意图：引起学生发现这两个角的终边是重合的，所以它们与单位圆的交点坐标相同，由任意角三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值是相等的.让学生体验到公式一的作用和三角函数的周期性
第二关 确定下列三角函数值的符号：
（1）
第三关 求下列三角函数值：
设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本节课的教学目标之一，引导学生抓住定义、数形结合判断三角函数值的正负符号，同时应用终边相同的角的同一三角函数值是相等的这一结论.
第四关 已知角
设计意图：该点不在单位圆上，与例题1的解法对比；为课后探究“角
（五）课堂小结,升华提高
知识与技能：任意角三角函数的定义（单位圆）；能根据定义判定三角函数的符号；公式一（终边相同的角的同一三角函数值相等）即三角函数的周期性特点.
思想与方法：坐标法、特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论.
设计意图：让学生自己总结，教师补充，并且提醒学生知识重要，探究的思想与方法更重要，体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念.
（六）作业布置：
体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念.
（六）作业布置：1、课本15页练习2、3、5.
2、假设角
3、通过本节课学习，你对任意角三角函数有哪些新的认识？利用定义你能解决哪些问题？你还有哪些不明白的地方？请把它写下来.
设计意图：体现作业的多样性，鼓励学有余力的同学课后探究，因材施教，多元发展.
教师和学生同唱励志歌曲《奔跑》，课堂在歌声中结束.
设计意图：拉近师生关系，也鼓励学生不畏艰难，在学习过程中保持奔跑的态度.在数学课堂也可以渗透品德教育.
研讨素材三
1．2．1任意角的三角函数
海拉尔第二中学：李相斌
【教学内容解析】
三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，是对函数模型的丰富，是对函数概念，性质，图像变换及函数应用的进一步深化，是函数概念的下位知识。
三角函数在物理学、天文学、地理学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学及其他学科的基础，因此，通过本章的学习可以培养学生的数学应用能力。
本节之前学生学习了函数的概念，指数函数、对数函数、幂函数和任意角弧度制，本节之后还要接着研究三角函数的图像和性质，并应用性质解决一些简单的具有周期现象的实际问题。而本节内容是研究三角函数图像和性质的基础。因此本节内容具有承上启下的作用。
任意角三角函数概念的重点是借助单位圆上点的圆周运动理解任意角的正弦、余弦的定义，它们是本节，乃至本章的基本概念，解决这一重点的关键是在直角坐标系中，借助单位圆、象限角等知识，抽象概括出三角函数，在这一过程中，学生可以感受到数形结合、运动变化、对应等数学思想方法．
【教学目标设置】
1、通过大量实例，认识到定义任意角三角函数的必要性；网]
2、借助单位圆上的圆周运动，抽象概括出任意角正弦、余弦定义，并体会命名的合理性；能根据定义求特殊角的三角函数值。
3、在抽象概括三角函模型的过程中，体会数形结合等数学思想。
【学生学情分析】
初中学习了函数的初步概念，研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，进入高中后从集合与对应的观点重新刻画了函数的概念，研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质。学生已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。本节课之前的任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度数与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。
三角函数是 “从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系，所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前学过的特殊函数困难些，这是教学的一个难点，所以需要借助单位圆上的圆周运动以直观的几何方式给出定义，通过合理的设计问题串突破该难点。
教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是角的集合（或它的子集），需要 “把角的集合转化为实数集”．回顾前一节的弧度制学生可以自行解决该难点，并也体现了引入弧度制的必要性。
【教学重点、难点】
重点：借助单位圆上点的圆周运动生成理解任意角的正弦、余弦的定义；能根据定义求特殊角的三角函数值。
难点：从单位圆上点的圆周运动这一模型中寻找变量并抽象概括出函数。
【教学策略分析】
“任意角三角函数的概念”是“函数概念”的下位概念，学生的学习是下位学习（一般函数概念下的具体函数），为了更好地突出“任意角三角函数的函数性”和“三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质”，并能根据定义进行简单求值，所以在教学策略上，我以“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”为指导思想，以圆周运动这一数学模型为教学起点，调动象限角、弧度制、单位圆、锐角三角函数等相关知识，从该模型中寻找变量抽象概括出任意角三角函数的概念。故在本课时中我对人教A版的教材及相关材料做如下处理。
内容上：第一课时只讲解正弦、余弦函数的定义。（因为正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，）
结构上：通过实例体现“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”并发现函数模型不够用了，进而利用单位圆上的圆周运动，由老师适当引导，学生寻找变量并抽象概括出任意角正弦、余弦的定义，而不是利用以直角三角形为载体的锐角三角函数定义来引课。
理由如下：
（1）锐角三角函数以比值为函数值，是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的；任意角三角函数以坐标分量为函数值，是研究现实生活中的周期现象而发展起来的，他们研究的对象不同，表现的性质也不同。所以我们不能简单地认为任意角三角函数是锐角三角函数的推广（或一般化）又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”。
（2）在任意角三角函数的概念形成之前，如果通过回顾初中的三角形中的锐角三角函数定义，之后坐标化、长度单位化、角的任意化，最后给出定义，这样处理容易给学生造成定义任意角三角函数离不开锐角三角函数的错觉，冲淡任意角正弦、余弦的函数性，可能导致学生无法把任意角的三角函数纳入到函数的概念中。
这样处理可以让学生直观地理解三角函的概念，体会把三角函数称作“圆函数”的原因，并为后续的性质、图像的学习带来方便，也可以让学生更好地体会数形结合、运动变化、对应等数学思想。
基于以上及结合学生知识水平,年龄特点，教师首先展示大量实例，体会引入新函数模型的必要性；通过几何画板演示圆周运动，教师问题串引导，以学生活动为主线,给学生留下思考的空间，自主发现，抽象概括出任意角的正弦、余弦的定义，并让学生探究该命名的合理性（数学中新的概念或法则的引进，我们总是希望其与原有的概念或法则是相容的），使学生的学习过程成为在教师的指导下的“再创造”过程，体现学生的主体地位。
【教学流程】
一、情境引入、提出问题
1、
师：必修一我们学习了函数，通过学习我们知道函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型。（列举大量实例，利用ppt师生互动）
如：（1）铅球如何能掷的更远、投篮如何更准，那我们就要研究抛物运动，抛物运动用什么函数模型来刻画？…
（2）必修一学习的指数函数，对数函数，他们分别是刻画那些具有“指数爆炸”“对数增长”现象的数学模型。
2、
师：在现实世界中还有这样一类现象，同学们请看。（ppt展示图片）
师生总结出昼夜更替，四季变化，潮汐变化，月相变化等。
师：这类现象有什么样的共同特点？
生：都具有周而复始的特点。
师：很好，这种现象我们叫做周期现象。周期现象在现实生活中大量存在，时刻影响着我们的生活，为了使我们的生活更加美好、看清现象的本质。我们很有必要研究周期现象，同学们思考，已有的这些函数模型能否刻画这种周期性现象呢？
师：函数模型不够用了，这节课我们就寻找新的函数模型来刻画现实生活中的周期现象。
【设计意图】用数学的观点，函数的视角看待自然现象和客观世界运行规律，体现函数的重要性，定义新函数的必要性。
二、构建模型、寻找函数
（一）准备工作（引进圆周运动，坐标系，圆的单位化）
师：刚才我们所举的周期现象的例子，是如何引起的？
生A：（可能略作思考）由旋转引起的。
师：是一种什么运动？
生A：圆周运动
老师表述：在“周而复始”现象中，最典型的是圆周运动【圆上的点P的每转一周（2弧度）就回到原来的位置】。数学中，研究一类现象，我们往往从简单而本质的情形入手。因此，本节课我们就从圆周运动中抽象概括出刻画周期现象的函数模型。
师：要从圆周运动中抽象概括出函数代数表达式，我们还缺什么工具？【几何画板展示、引出坐标系，体现数形结合思想】
师：平面直角坐标系是联系几何与代数的桥梁，是实现数形结合思想的关键。坐标系放在什么位置合适？【建立恰当直角坐标系】
师：在研究点P的周期特性时，了研究方便，我们不妨取圆的半径op=1，我们把以原点为圆心，单位长为半径的圆叫单位圆【将圆单位化】(板书单位圆）
（二）寻找变量，构建函数
师：要用函数刻画周期现象，就离不开变量。在坐标系中，哪些变量能刻画单位圆上点P的变化规律呢？
（学生可能回答坐标，弧长，时间等，根据情况具体讨论）
生: P点的坐标
师：坐标可以很好的刻画点p的位置，请同学们思考，能否用变量 x和y建立一个函数关系式刻画点P在单位圆上的变化规律？
（学生可能说用
师：x，y之间不能构成函数，所以要构造函数我们还缺少变量。请同学们思考，还有什么变量能刻画p点运动的周期特性呢？各小组讨论，并说说合理性。
生：可以用角来描述p点运动的周期特性。
师：什么样的角？
生：射线OP旋转所成的角，就是上一节课的任意角。
师：这时点P可以看成角
生：
师：给予表扬，请坐（结合几何画板总结）
（三）联系变量，构造函数
师：接下来请同学们思考，角
生：角
对于任意一个角
对于任意一个角
师：（板书并问）
以谁为自变量，以谁为函数值的函数？
生：角
师：（不妨记为
生：是，他的弧度数是个实数。
师：很好，请坐。弧度制下，任意角的集合就是实数集R,看来引入弧度制是很有必要的。
单位圆上的坐标分量x，y取值集合是什么？
答[-1,1],
师：哪位同学从集合与对应的角度来描述一下这两个函数？
生：对于R中的任意一个实数
同理…
师：（表扬）
上述对应满足函数的定义，即是以角
【设计意图】1、这部分是本节课的重点也是难点，结合函数概念、象限角、弧度制等知识，通过几何画板的直观演示，达到突出重点突破难点的目的。2、利用单位圆上的圆周运动寻找任意角三角函数概念，在概念的形成过程中，体会函数思想，数形结合思想。
三、生成概念、恰当命名
师：上述两个函数密切配，很好地刻画了做圆周运动的点P的周期特性，这么重要的函数同学们考虑给他们起个具体的名字吧，并给一个记号。【小组讨论。】
生：x叫做
y叫做
合理性：（学生阐述）
老师说明：这样命名前后一致，具有合理性。一般地，在数学中，当我们引进一个新的概念或法则时，我们总是希望它与已有的概念或法则相容。
因为角
我们给出任意角的三角函数的完整定义。（板书）
老师总结：至此，利用圆周运动同学们构建了任意角的正弦函数和余弦函数，
【设计意图】1、定义的合理性。2、通过积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，体会合情猜测的重要性，并从中感悟数学概念的严谨性与科学性；
四、例题分析，巩固提高
:
例1. 求
总结：求任意角
【设计意图】能根据定义求特殊角的三角函数值。
例2. 已知角
课后思考：
课后思考：P（-3，-4）
改为P（
【设计意图】深化定义
五、课堂小结，布置作业
小结: 同学们，本节课解决了具有周期性现象的函数模型问题，在这个过程中你有哪些体会和收获？请你从具体知识及知识体系、思想方法的角度简要叙述。
作业：
附：板书设计
研讨素材一
一、教材分析
教材截图
（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）
教材分析：
1.内容
章头图与章引言；任意角；象限角；终边相同的角.
2.内容解析
章头图与章引言应该隶属于整个第五章的总引言，简单介绍了本章将要学习的主要内容、研究方法及实际应用.但其内容比较少，因此可以与“5.1.1 任意角”合成一个课时.教科书在章引言中列举了一些现实中存在的周期变化现象，并在章头配置了一幅月亮围绕地球运转产生圆缺变化的图形，一方面说明了三角学的起源、发展与天文学密不可分，另一个方面也说明了本章将要研究的三角函数是用来刻画这种周期现象的数学模型.
对于角的概念推广，因为学生过去接触的角都在0°～360°范围之内，但在现实生活中有大量的关于角的例子都超出了这个范围，要想描述清楚这些角，就要从动态的角度重新定义角的概念.实际上，我们很容易认识到一般的角是“转”出来的，要准确刻画一个角，必须知道两个方面：一是旋转方向；二是旋转量.有了这两个方面就可以将0°～360°的角推广到任意角，但如何对任意角进行量化，这还是一个问题.我们知道，旋转量的大小可以在角度制的基础上进行推广，而旋转方向需要利用我们已有的“通过符号代表方向”的经验加以解决.因此，我们规定：若角通过逆时针方向旋转形成为正角；顺时针方向旋转形成为负角；没有作任何旋转（即旋转量为0）为零角.同时，可类比正负数的规定，说明正角、负角是用来表示“具有相反意义的旋转量”，零角无正负，就像实数0无正负一样.
角的范围扩展到任意角后，角的运算的意义也随之得到扩展.初中学过角的和、差和倍角，角的运算中不考虑方向，两角差只考虑“大角减小角”.角的范围扩充后，基于用符号表示方向，依据沙尔定理，即 ，不仅可以“小角减大角”，而且对两角和也赋予了全新的意义.
教科书定义的两个任意角α，β的和是：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.这个规定既符合人的直觉，也与实数的运算法则一致，因此它是合理的.
首先，字母α，β表示任意角，它们是带有符号的.当α，β的符号为正时，射线的旋转方向为逆时针；符号为负时，射线的旋转方向为顺时针.为了方便，我们用|α|，|β|表示相应的旋转量.
角（α+β）是两次连续旋转的结果，可以分如下几种情况：
（1）α>0，β>0；（2）α>0，β<0；（3）α<0，β>0；（4）α<0，β<0.
下面我们根据任意角的概念做一个分析：
对于（1），角（α+β）的旋转方向为逆时针，旋转量为|α|+|β|.
对于（2），如果|α|>|β|，则角（α+β）的旋转方向为逆时针，旋转量为|α|-|β|；如果|α|<|β|，则角（α+β）的旋转方向为顺时针，旋转量为|β|-|α|.
对于（3），如果|α|<|β|，则角（α+β）的旋转方向为逆时针，旋转量为|β|-|α|；如果|α|>|β|，则角（α+β）的旋转方向为顺时针，旋转量为|α|-|β|.
对于（4），角（α+β）的旋转方向为顺时针，旋转量为|α|+|β|.
于是：同号两角相加，取相同的方向，并把“绝对值”相加；“绝对值”不相等的异号两角相加，取“绝对值”较大的角的方向，并用较大的“绝对值”减去较小的“绝对值”.
显然，旋转量相同，旋转方向相反的两个角相加得零角；一个角与零角相加仍得这个角.
综上可知，两角和的运算与实数的加法运算完全一致；同时，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+（-β），即“减去一个角等于加上这个角的相反角”.这样，角的减法可以转化为加法.从几何角度看，就是一条射线绕端点旋转任意角α后再旋转任意角β，这时终边所对应的角是α+β.
引入象限角概念，使角放在一个统一的标准下进行讨论，可以使角的讨论得到简化，并进而可以利用任意角、直角坐标系刻画周期性变化现象.
终边相同的角是具有特殊关系的象限角，可以看成是在定义象限角概念之后研究它的性质，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征.从几何角度看，“终边旋转整数周回到原来的位置”而形成“终边相同的角”，用数量关系表示，就是“终边相同的角相差360°的整数倍”，用符号形式表示，就是：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z｝.另外，有了终边相同的角的表示，就可以非常方便地得出三角函数的诱导公式一.
根据上述分析，确定本课时教学重点是：将0°到360°范围的角扩充到任意角，终边相同的角.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系，了解学习三角函数的必要性；
（2）了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养；
（3）掌握所有与角 终边相同的角（包括角 ）的表示方法.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生能简单说出本章所学的内容、结构、研究过程与方法，知道三角函数就是刻画一类周期变化规律的数学模型，并能举出现实世界中这类周期现象的例子；
（2）对于给定一个任意角，学生能说出旋转方向及旋转量，并能在直角坐标系中作出该角，还能判断它是第几象限角；对于两个角，会判断它们是否相等或是否为相反角，如果相加、减后，从数量上，知道结果是正角、负角或零角，从图形上，还能解释是通过怎样的旋转得到的.
（3）学生能说出集合 中 、 的准确含义，知道终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍，体会数形结合思想及特殊到一般的归纳思想.
三、教学问题诊断分析
第一个学习难点应该是对角的概念的推广，就象数系的扩充与推广一样，从自然数到整数，整数到有理数，有理数到实数，实数到复数，等等，每一次扩充与推广都与学生以前的认知产生矛盾，原本对前面知识的认识与接受可能就经历了不平凡的过程，这就使得打破学生认知的定势难上加难.
通过初中的学习，学生对角的认知基础是：角的范围在0°～360°.为了改变学生对角的认识，首先，让他们举出现实生活中超出0°～360°的角的大量例子，而且让他们认识到这些角只能用超出0°～360°的角才能描述清楚，用以说明引入新概念的必要性和实际意义.其次，还可以借助信息技术工具（如GeoGebra），让学生在动态的过程中感受到：角是转出来的，在角的终边“任意”旋转的过程中，要准确地刻画一个角，必须“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”.最后，如何将这种旋转量与旋转方向进行量化才是关键所在。初中研究过“平面图形的旋转”，学生已经知道旋转的“三要素”，这是对旋转的定性刻画，可以作为刻画任意角的一个基础.如何用量化的方法刻画任意角呢？旋转量的大小可以在初中学过的角度制基础上进行推广，这里的关键是用符号表示“旋转方向”，逆时针方向为正、顺时针方向为负.教学中可类比正负数的规定，说明正角、负角是用来表示“具有相反意义的旋转量”.
第二个学习难点是对“0°～90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”这些概念之间关系的认识.在教学中，有必要在坐标系中利用动画进行演示，让学生直观感知，另外，还可以通过具体例子来反映它们之间关系，从特殊到一般加强认识.
第三个学习难点是对终边相同角的认识.因为学生们对于动态的任意角的概念还不熟悉，而终边相同的角有一个共同的特点就是这些角的始边和终边都相同，从图形上看没有任何区别，那么如何加深对终边相同角的理解呢？
第一，我们可以借助信息技术工具（如GeoGebra）动态地展示这些终边相同角之间的联系与区别，让学生们从形上对这些角有一个很好的直观感受.
第二，通过具体的例子，比如-32°，让学生找出几个与-32°终边相同的角，通过运算发现联系：“它们都与-32°相差360°的整数倍”，然后进行量化表达，得出所有与-32°终边相同角的表达式，再将-32°推广到一般角α.其实这里用到了从特殊到一般、从具体到抽象、通过运算发现规律等方法，这是数学地探索事物性质的普遍方法.
另外，对于终边相同角的认识过程还反映了从定性到定量的研究数学问题的基本策略，以及数形结合的数学思想，让学生从几何与数量关系角度加强认识.
更多：https://www.pep.com.cn/gzsx/xrjbgzsx/xrjgzwd/201911/t20191128_1947631.html
四、教学重点、难点
重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角，终边相同的角.
难点：
1.对角的概念的推广；
2.对“0°～90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”这些概念之间关系的认识.
3.对终边相同角的认识.
四、数学学科素养
1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；
2.逻辑推理：求区域角；
3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.
五、教学过程：见《研讨素材二》
研讨素材二
研讨素材二
研讨素材三
研讨素材四
1：（免责声明：本平台图文版权归原作者所有，素材来源于网络，仅供学习交流使用，不构成商业目的。推送文章除非确实无法确认，我们都会注明作者和来源。部分文章推送时未能与原作者取得联系，若涉及版权问题，烦请原作者及时联系我们，本平查核属实后，将于24小时内删除消息，不承担任何法律责任。摘录、转载，是想为经济欠发达地区教师提高业务水平做点事,仅此而已,欢迎关注、欢迎投稿！
2：本平台：妙解之慧（ID:WanZhuanShuXue1）由陕西西安孙冰钰老师创建专注分享初，高中数学优质资源，旨在：让全国各地的师生都能享受到同等优质的教育资源。本平台诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿，与数学有关的内容都可以。来稿请注明姓名或者网名、工作单位，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。文稿可发在QQ邮箱3305796992@qq.com或添加文末微信直接发给我，感谢各位朋友的鼓励与支持。
长按下方二维码即可识别，添加作者“微信”添加时请备注：地区身份，欢迎各位朋友，相识即是缘，感恩遇见
往期内容
初高中群仅限加一个，进群后及时修改群备注：省市名，不能做到，就不要申请加入了。
初中数学解题研究群:1164126943
高中数学解题研究群：414652933
如何进行有效的听评课（含PPT）听讲题课要抓住的六个方面
7:人教版高中数学说课比赛说课稿合订本word版(共150页)
13:高三回归基础：高考数学25个必考点精编精讲（含PPT）