“同课异构”公开课——《对数函数的图象与性质》课堂实录

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研讨素材一

一、 学习内容解析

《对数函数及其性质》是选自普通高中实验教科书人教A版必修①第二章第二节的内容。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。而对数函数是学生学习了函数的概念、性质以及指数函数及其性质后，学习的第二个基本初等函数，是高中阶段要研究的重要的基本初等函数之一，是函数学习的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段。它是一种新的函数模型，在人口、考古、地震、pH的测定等问题中有着广泛的应用。

《对数函数及其性质》教学时数安排是3课时，本节课是第一课时，它涉及对数函数的概念的建立、图象的绘制、基本性质以及简单应用，属于概念性知识。教材从具体实例了解对数函数模型的实际背景，学习对数概念，进而学习一类新的基本初等函数——对数函数。由于对数式与指数式的对应关系，对数函数与指数函数有着很多对应的性质。对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础展开的，并且对数函数的研究过程同指数函数的研究过程是一样的。教材的目的就是让学生对建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的认识。一方面对数函数的学习可以进一步深化对函数概念、性质以及研究方法的理解，另一方面也为后续研究幂函数、三角函数等初等函数打下基础。基于以上分析，我确立本节课的教学重点是：

教学重点：对数函数的定义、图象和性质。

突破重点的策略：引导学生再现指数函数的学习经验，提供情景抽象出对数函数，同时类比指数函数的学习过程，整体上确定研究内容与研究方法，在师生共同加以确认后组织学生进行自主探究。

二、 学习目标设置

结合课程标准和学生实际确立本节课的学习目标如下：

1、 从具体实例中抽象出对数函数特征，并用数学符号表示，初步理解对数函数的概念，发展学生的数学抽象素养。

2、 类比指数函数的研究过程，经历设计对数函数的研究方案并实施，获得对数函数的性质，发展学生的几何直观素养和数学抽象素养。

3、 在经历对数函数的研究过程中，对建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的认识，同时发展思维，促进自主学习能力的提升。

三、 学生学情分析

1、 学生已有认知基础

（1） 学生已经学习了函数的概念、表示方法和性质，知道函数的研究内容是函数的概念、性质以及应用。

（2） 学生经历了指数函数的概念、性质以及简单应用的研究过程，初步建立了研究一个具体的函数的一般方法。

（3） 学生学习了对数的定义、对数式和指数式的互化、对数运算性质以及对数的初步应用，具备了进行对数运算的能力。

（4） 学生具有一定的分析问题和解决问题的能力，他们也知道将问题作类比和转化，这些无疑都为本节课知识的生长点提供有力条件。

2、 达成目标所需要的认知基础

本节课是学生学习研究的第二个基本初等函数，虽然在前面学生已经初步建立了研究一个具体函数的一般方法，而本节课的目的是通过对对数函数的研究使学生对建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的认识，这就需要学生具备较好的归纳、研究问题以及操作实施的能力，并且主动参与探究过程。基于以上分析，确立本节课的教学难点为：

教学难点：亲自操作、主动探究对数函数的性质的过程. 

突破难点的策略：引导学生类比指数函数的研究方法，设计研究对数函数的研究方案并实施，从总体上认识研究的目标和手段，同时重视交流过程。

四、 教学策略分析

本节课采用类比与自主探究学习相结合的方式，具体落实如下：

1、适时回顾经验：引导学生梳理学习指数函数的经验，然后自己设计研究对数函数的方案并亲自操作主动探究；

2、及时组织交流：探究对数函数图像和性质时，学生自选底数，开展自主探究，并通过汇报交流，促进学生分析问题和解决问题的能力的提高；

3、加强性质应用：引导学生类比指数函数的性质的应用思考对数函数性质的简单应用，并自主举例加以说明。

在研究过程中，力图促进学生学习方法和思维能力的提升，具体着力于以下两个方面：

1、自主研究前，教师引导学生明确研究的内容和方法，并能保证学生学习的时间和思维的空间。

2、研究过程中， 引导学生经历知识的发生过程以及完善过程，促进学生的思维能力的提高。

教学过程设计

研讨素材二

 宋纯亮

一、教材分析

本小节选自人教B版教材必修一第3.2.2节《对数函数》（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，本节教学过程体现了数形结合、分类讨论的思想，同时蕴含丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨论证的思维能力有重要作用。

二、学情分析

学生从初中到高中，还没有完全适应，大多数同学保留着初中的学习特点。例如认真上感性思维远远多于理性思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，学生运算能力有所下降，所以在解决实际问题时学生会比较吃力。

三、设计理念

在本节课的教学过程中，通过细胞的分裂得到的细胞个数y与分裂次数x的函数关系式的探索，应用指数和对数的关系引出对数函数的概念。通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。

四、教学目标

知识与技能目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，能通过具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的性质。

过程与方法目标：根据图象探索、理解对数函数的单调性与特殊点，感受数形结合的数学思想。

情感、态度与价值观目标：通过本节课学习，学生养成自主学习、数学交流能力和数学应用意识。落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力。

五、教学重点与难点

重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．

六、教学过程设计

研讨素材三

一、教学内容解析

1. 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，面对纷繁复杂的变化现象，可以根据变化现象的不同特征进行分类研究.现实生活中的推算出土文物或遗址的年代、地震震级的变化规律、溶液PH值的变化规律等，可以用对数函数模型来研究.对数函数是最基本的、应用最广泛的基本初等函数之一，是进一步学习数学的基础.

2. 本课内容是《普通高中课程标准试验教科书（人教A版）》必修1第二章《基本初等函数（Ⅰ）》第二节《对数函数》第二小节的第一课时.本节是一节概念课.既可以类比前面指数函数的研究过程，又为后面幂函数的学习提供研究思路.主要内容是：对数函数的概念与基本性质，并运用它们解决一些简单的实际问题.

3. 本节内容是培养和提高学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、与数学建模核心素养的重要载体.在实际背景中抽象概括出对数函数的概念；利用具体对数函数的图象，通过归纳推理，发现对数函数的性质；数形结合解决比较两个数大小的问题.这些过程正是培养上述数学学科核心素养的重要过程.

二、教学目标设置

课标要求：

通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

教学目标：

1.通过问题情境，抽象出对数函数的概念，培养学生数学建模、数学抽象的核心素养.

2.类比指数函数及其性质的研究方法，分组做出图象，归纳出对数函数的性质，渗透数形结合、从特殊到一般的学习方法，培养学生自主探究的能力.

3.会求和对数函数有关的函数的定义域，会利用对数函数的单调性比较大小.

三、学生学情分析

1. 刚升入高中的学生在前面已经学习了“函数的概念及其性质”“指数函数”以及“对数的概念与运算性质”，学生的抽象概括能力、探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼，对如何研究一个具体函数方法有了初步的了解.授课学生属于本校第二层次的班级，基础知识比较扎实，具备一定的类比能力.

2. 虽然有“指数函数”的学习作为参照，但是学生在自主探究的过程中分析问题的能力仍然不足，如何从对数函数的图象归纳出对数函数的性质对学生来说仍有一定的难度，尤其是底数对函数值变化的影响，教学时，教师要适当引导.

四、教学策略分析

在本节课的教学中，主要以问题引导全程，启发学生反复思考，通过小组合作学习，展示学生的学习成果，让学生充分发表自己的观点，在此过程中学生不断将知识、方法内化成为自己的认知结构.这样做可使学生经历新概念产生的过程，认识新旧知识的联系，在过程中感受学习新概念、研究新函数的方法．

五、教学重、难点

重点：对数函数的概念、图象和性质.

难点：引导学生采用数形结合地方法从具体到一般地探索、概括对数函数的性质.

六、教学基本流程

导读：

       通过图像直观（定性）和数学运算（定量）获得函数性质

      *有了指数函数的图象和性质的学习经历，对数函数的图象和性质的教学应该以学生为主，引导学生类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法；

       *学生认识问题有一个过程，因此，新的函数图像教学应该设计一个：感知——大致——精确的过程，要利用好《几何画板》这一辅助工具；

      *关注学科核心素养，特优班应增加有关推理证明、数学建模等方面的内容。

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析： 

1.画图象,概括对数函数的性质

有了指数函数的图象和性质的学习经历,对数函数的图象和性质的教学应该以学生为主,引导学生类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法,从以下两个方面进行探究。

（1）观察图象、概括性质

首先,作出函数的图象。教科书同样给出了两种作图方式,教学时可以从中选择一种。一种方式就是列表描点作图。教学时可以从简单的对数函数开始,再到,在研究了这一对函数之后,再研究具有类似对称关系的其他几对函数,从而概括它们的共同特点。列表描点作图也有两种方法：一是通过人工计算各个点的坐标,然后列表描点作图;但最好是选择第二种方法,利用计算工具直接计算各个点的坐标并列表，然后作图。

另一种方式就是根据函数解析式,利用具有函数作图功能的信息技术直接作图。为了更好地概括函数性质,应该对函数中的底数a进行任意取值,作出大量的相应的具体对数函数的图象,并通过跟踪图象上的点,观察点的坐标的变化。

其次，根据图象概括函数的性质,就是让学生根据所作图象的特点,概括对数函数的定义域、值域、定点和单调性。

（2）由性质进一步认识图象

在由图象概括出函数性质后,还可以让学生根据所得性质进一步分析函数的图象,这样就可以从“以形助数”和“以数助形”两个方面体会数形结合的思想方法,培养学生的理性思维。

2.“思考”和“探究”的教学分析

(1)教科书第132页的“思考”是让学生用一种作图方式,首先获得“函数的图象与函数的图象关于x轴对称”的结论;然后利用这个结论,通过思考,让学生体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象,其目的是让学生学习用联系的观点看问题,通过逻辑推理获得数学结论。

这样思考的好处是便于将对数函数分为a>1和0<a<1两类,从而分别对两类图象的共同特点进行归纳。由于对指数函数有过类似的探究,这里引人函数就不会再显得不够自然了。

(2)教科书第132页的“探究”是让学生用另一种作图方式,通过信息技术得到a取任意值时函数的大量图象,并根据所作的这些图象直观地归纳出它们的共同特点。

这样探究的好处是底数a的取值自然,所作函数的图象也是自然产生的,而非事先规定的,且信息技术能便捷地作出大量图象,易于进行归纳。由于指数函数有过类似的探究,这里要将对数函数分为a>1和0<a<1两类来讨论,对学生来说就很容易了。

在上述思考和探究的过程中,同样要有意识地向学生渗透数形结合的思想方法,引导学生“以形助数”,先观察图象得到图象的特征,然后再将图象特征转化为函数性质,逐步完成表4.4-2的内容。

3.反函数的教学

《标准（2017版）》只要求学生知道同底的指数函数与对数函数互为反函数。教学中应注意按照函数的三要素来认识它们之间的关系,其中指数函数的定义域是对数函数的值域,指数函数的值域是对数函数的定义域。不要求学生讨论形式化的反函数定义,也不要求学生求已知函数的反函数。

(1)教科书在对数函数的概念中,已经从图象直观和函数定义两个方面说明指数函数与对数函数的关系,这里只是进一步说明这两个函数互为反函数,并强调了二者的定义域和值域的关系。

(2)第135页的“探究”是让学生再次通过和这一对具体的反函数,进一步明确同底的指数函数与对数函数互为反函数。

(3)如果有学生对反函数的学习还有需求或兴趣,可以引导他们去研究“探究与发现”中的问题,从而进一步了解互为反函数的两个函数图象间的关系。但这部分内容不作为一般要求。

4.信息技术的使用

为了便于作图,并易于概括出对数函数的性质,与指数函数一样,本小节可以在以下两方面使用信息技术。

(1)在同一平面直角坐标系内画出a取任意值时函数的大量图象。可以设置a的取值,然后通过控制a的连续变化展示对应函数图象的分布情况;还可以逐个地取a的值,然后分别作出对应函数的图象。

(2)计算函数的自变量取值及其对应的函数值并列表,然后将所得有序实数对描点并画出函数的图象。同理,作出函数的图象。跟踪函数图象上的点,观察这些点关于y轴的对称点,发现所有的对称点均在函数的图象上,并由相互对称的点的坐标关系分析函数与的关系。

5.例题教学

例3的主要目的是利用对数函数的单调性比较两个数的大小,根据问题的特点构造适当的对数函数是关键也是难点。本例能让学生进一步熟悉对数函数的性质，并促使他们形成用函数观点解决问题的意识。例4的主要目的是利用对数函数的概念和性质解决问题，本例能让进一步熟悉对数函数的性质，并促使学生形成用函数观点解决问题的意识

  【以上文本选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第一册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用】      

二、教学目标和目标解析

     1.用描点法或借助信息技术工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的图象特征、单调性与特殊点；

     2.类比指数函数的研究方法，运用函数图象和代数运算的方法研究对数函数的性质，在数学思想方法上体会数学的联系性与整体性；

     3.经历对数函数的图象与性质的研究过程，提高直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养.

三、教学重点、难点

     教学重点：对数函数的图象与性质及其研究方法、过程.

     教学难点：对数函数性质的初步运用.

四、数学学科素养

       直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象

五、教学过程：见《教学过程精选》     

六、教学课件：见《研讨素材二》  

教学过程精选

   本教学过程引用格式：王华民、张建良. 一堂基于核心素养的新教材新授课——高中数学人教A版“对数函数图像和性质”的教学思考[J]. 中小学数学, 2021, 7-8月下旬（高中）。

教材分析：

1．内容

本单元的知识结构如下：

本单元包括对数函数的概念、图象和性质，以及不同函数增长的差异，它们是中学数学中的重要内容．本单元共3课时，第一课时的主要内容是对数函数的概念，第二课时的主要内容是对数函数的图象和性质，第三课时的主要内容是不同函数增长的差异．

2．内容解析

  本单元是在函数的概念和性质、指数函数的概念和性质、对数的概念和运算性质的基础上，进一步研究对数函数的概念、图象和性质，并通过对比的方法，研究一次函数、指数函数、对数函数之间的增长的差异．对数函数作为基本初等函数之一，是函数内容的重要组成部分，是概率统计、导数等高中数学内容的基础，其思想方法与其他数学内容还有紧密的联系，同时作为重要的函数模型还有广泛的应用，又是分析和解决大量数学问题和实际问题的重要工具．

    对数函数是一类具体的函数，有了研究指数函数的经验，便可以按研究一个函数的基本方法去研究对数函数的主要内容．对数函数的概念体现了对数函数变量间对应关系的本质，图象和性质则是在概念基础上进一步研究其变化规律，所以教科书从概念出发认识图象和性质，并结合图象和性质进一步理解概念，最后达到应用对数函数解决实际问题的目的．在此基础上，回到与一次函数的比较，通过图象直观，比较指数函数、对数函数、线性函数增长速度的各自特点及差异，从而理解直线增长、指数爆炸和对数增长的含义．

在研究对数函数的图象和性质时，通过与底数相同的指数函数的对比，引出反函数的概念，并进一步研究互为反函数的两个函数之间的关联．

    对数函数是指形如（a＞0，且a≠1）的函数，当a＞1时，函数以对数增长；当0＜a＜1时，函数以对数衰减．对于对数函数图象和性质的研究，应从函数（a＞0，且a≠1）出发，通过a取不同值时函数的图象直观地体现对数函数的变化规律；然后在大量具体图象的基础上归纳其共同特征，并选择有代表性的图象反映这样的特征，说明函数的定义域、值域、特殊点、单调性．由函数的图象能体现函数的性质，而由函数的性质也能确定函数的图象特征，教学应突出这种数形结合的思想方法，并通过解析式、图象、性质，多元联系地认识对数函数的本质和函数模型的特征．

根据上述分析，确定本单元的教学重点：对数函数的概念、图象和性质，以及不同函数增长的差异．

二、单元教学目标及目标解析

1．目标

（1）通过具有现实背景的具体实例，经历数学抽象，理解对数函数的概念，了解对数函数的实际意义．

（2）能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点，并能应用对数函数解决实际问题．探究互为反函数的两个函数之间的关联，理解反函数的对称性．

（3）利用信息技术，通过列表法和图象法，探究不同函数增长速度的各自特点及差异，并总结其中的规律．

（4）结合对数函数概念、图象与性质的研究，比较不同函数增长的差异，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模素养．

2．目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）能结合教科书4.2.1中碳14衰减的问题2，从中体会实际问题中变量间的关系，并根据指数与对数的关系，能将指数函数转换为对数函数．在了解对数函数的实际意义的基础上，知道对数函数的含义和表示，清楚其定义域和底数a的取值范围．

（2）能根据函数解析式或利用计算工具计算出对数函数的两个变量的一些对应值并列表，然后描点或利用信息技术画出对数函数的图象，或能根据函数解析式直接利用信息技术画出对数函数的图象；结合函数图象，归纳这些图象的共同特征，探索并总结对数函数的单调性与特殊点，并结合函数解析式验证所总结的函数单调性和特殊点．在理解对数图象与性质的基础上，应用反函数的概念、图象、性质解决实际问题．根据指数与对数的运算关系，从概念上理解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数；利用作图的方法，探究互为反函数的两个函数之间的关联，理解反函数的对称性．

（3）通过选取适当的一次函数、指数函数、对数函数，能利用计算工具计算出三个函数的自变量与函数值的对应值并列表，然后描点或利用信息技术画出三个函数的图象，或能根据函数解析式直接利用信息技术画出三个函数的图象；结合函数图象，归纳它们增长的各自特点及差异．

（4）结合对数函数的教学，体会按照“背景－概念－图象与性质－应用”的顺序对函数进行研究．在由具体实例抽象为具体函数、再由具体函数归纳为对数函数的过程中，提升数学抽象的素养．在研究函数的性质和图象时，借助计算工具，选取对数函数的若干点，完成对数函数（a＞0，且a≠1）中x，y的对应表，提升数学运算素养；通过分析数据，探索出对数函数的单调性和特殊点，提升逻辑推理素养；在由函数图象直观认识函数性质的过程中，体会数形结合的思想方法，提升直观想象素养．最后，通过比较不同函数增长的差异，初步认识要根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律，提升数学建模素养．

第1课时

课程目标

1、通过实际问题了解对数函数的实际背景；

2、掌握对数函数的概念，并会判断一些函数是否是对数函数.

第2课时

课程目标

1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；

2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；

3、在对数函数的学习过程中，体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.

第3课时

1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长的快慢.

2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较，培养数学建模和数学运算等核心素养.

四、教学重点、难点

第1课时

重点：理解对数函数的概念和意义；

难点：理解对数函数的概念.

第2课时

重点：对数函数的图象和性质；

难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质.

第3课时

重点：比较函数值得大小；

难点：几种增长函数模型的应用.

五、数学学科素养

第1课时

1.数学抽象：对数函数的概念；

2.逻辑推理：用待定系数法求函数解析式及解析值；

3.数学运算：利用对数函数的概念求参数；

4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结对数函数概念.

第2课时

1.数学抽象：对数函数的图像与性质；

2.逻辑推理：图像平移问题；

3.数学运算：求函数的定义域与值域；

4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；

5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.

第3课时

1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质；

2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较；

3.数学运算：由函数图像求函数解析式；

4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数；

5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.

六、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二

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