离心率求解的方法介绍及其在高考中应用

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作者：张小春 佛山市顺德区青云中学

责编：张小春

审核：王常斌

    圆锥曲线的离心率（本文特指椭圆和双曲线）是高考的热点问题，也是难点问题，题型不外乎求值或范围。但由于这类题往往综合性较强，灵活多变，对知识储备和知识的应用都有一定的要求，很多学生考试中碰到这类题往往无从下手，所以离心率问题往往也是高考中学生容易失分的点。那么在高考中这类题是否真的无迹可寻呢？其实也不是，解决离心率问题，从本质上讲是求出a,b,c三者间任意两者之间的关系，无论是椭圆、还是双曲线a,b,c三者间都有隐含的一种关系，因此只需根据题中的条件列出另一个方程即可。因此解决问题的关键是从题中找出a,b,c三者关系的一个等式，所采用是方程的数学思想。另外，解析几何从本质上讲是几何问题，只是用代数方法来研究几何问题。有些题用纯代数运算的的方法来解决是可以的，但运算量较大，会花大量的时间，并且运算能力不强的话还容易出错。但如果我们先从几何的角度去研究，利用图形的几何性质，会简单许多。因此对于解析几何的问题，我们首先应从几何的角度去观察和分析，找出图形的特征，再将其代数化，这样可大大简化运算量。下面我们介绍四种求圆锥曲线离心率的或其范围的方法，供读者参考。

定义法

齐次式法

点评：此方法的关键往往在于通过图找到几何等量关系，再转化成代数式。

函数法

焦点三角形中的公式法

小试牛刀

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本文章和图片来源于《顺德数学家园》

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