StatQuest生物统计学专题 - 分位数及其应用

分位数的概念分位数应用之一：QQ图分位数应用之二：分位数标准化

分位数的概念

分位数（quantile）的概念非常简单，就是将数据按照数量均分后的边界值。

具体来说，分位数就是指将数据均分成相同大小的不同组之间的边界值。举例来说，中位数是将数据按照数量均分为两份，所以中位数就是一个分位数，可以称为1/2分位数。同样的，如果将数据均分为四份，那么就有三个分位数：1/4分位数、中位数或1/2分位数或2/4分位数、3/4分位数。

分位数有多种叫法，比如1/4分位数，可以叫做0.25分位数，也可以叫做25%分位数。

此外有时候还会遇到到百分位数（percentile）的概念，其实百分位数也是一种分位数，只不过百分位数是将数据均分为100组的分位数。所以1/2分位数可以叫做第50百分位数，0.25分位数可以叫做第25百分位数，75%分位数可以叫做第75百分位数。

分位数应用之一：QQ图

QQ图（quantile-quantile图）最常见的场景就是用于数据正态性的可视化衡量。当然正态化检视是QQ图的重要功能，然而QQ并不只是可以检视正态化，它同样可以检视数据是否符合其他各种类型的分布，还可以进行两组数据之间的分布比较。

QQ图的计算和绘制方法

以下以正态分布QQ图为例，进行QQ图的实际计算和绘制：

1. 将原始数据的每个点作为一个分位数。比如原始数据有40个数据，那么每个数据点是一个分位数，共有40个分位数（相当于将数据分成了40份？）；

2. 找到一个正态分布，任意正态分布都行，本例以标准正态分布为例；

3. 求出与原始数据分位数等量的正态分布的分位数，也就是说，原始数据有40个分位数，那么就求出正态分布的40个四十分位数；

4. 然后将相应的原始数据和正态分布的分位数绘图即可；

5. 可以将上图的散点图绘制一个拟合曲线（线性拟合已经讲过）。

正态分布是连续分布，它无法按照数量均分进行计算分位数，它是按照概率均分进行计算分位数。

可以在R中实现上述思想：

# 1.获取一个原始数据，这里以从正态分布N(5，10^2)中随机抽取40个数据作为原始数据
originData <- rnorm(40,mean = 5, sd = 10)
originData <- sort(originData) # 排序后作为分位数

# 2.使用标准正态分布曲线求解分位数
# 将0-1均分为41份，去掉0和1后，剩余的数值刚好将概率均分为40份
normProb <- seq(0,1,by=1/(length(originData)+1))
normProb <- normProb[-1]
normProb <- normProb[-(length(originData)+1)]
# 将概率normProb转换为相应的分位数
normQuantile <- qnorm(normProb,mean = 0, sd=1)

# 3.绘制QQ图及拟合直线
# 绘制QQ散点图
plot(normQuantile,originData)
# line是R中进行拟合的函数
abline(line(normQuantile,originData))

R中模拟的结果如下图：

StatQuest-XI-1

作为对比也可以绘制一下如果原始数据是均匀分布的情况，下例代表服从均匀分布U(-5,15)的40个数据的正态QQ图，将上述R脚本中的第一句更改为originData <- runif(40,min = -5, max = 15)，其他不变，则可以得到如下QQ图：

StatQuest-XI-2

QQ图检视其他分布

虽然QQ图最常用的场景是用于观察数据的正态性，然而QQ图的作用却并不限于观察正态性，它同样可以观察其他分布情况 。以均匀分布为例，从均匀分布U(-5,15)中获取100个数据作为原始数据（为了更好的观察区别，数据提高为100个），分别绘制此数据的正态分布QQ图和均匀分布QQ图。

#2张QQ图纵向排列
opar<-par(no.readonly=T)
par(mfrow=c(2,1))

#####正态分布QQ图####
#原始数据为均匀分布
originData <- runif(100,min = -5, max = 15)
originData <- sort(originData)

normProb <- seq(0,1,by=1/(length(originData)+1))
normProb <- normProb[-1]
normProb <- normProb[-(length(originData)+1)]
normQuantile <- qnorm(normProb,mean = 0, sd=1)

plot(normQuantile,originData, main="Normal QQ-plot")
abline(line(normQuantile,originData))

#####均匀分布QQ图####
#原始数据为均匀分布
originData <- runif(100,min = -5, max = 15)
originData <- sort(originData)

unifProb <- seq(0,1,by=1/(length(originData)+1))
unifProb <- unifProb[-1]
unifProb <- unifProb[-(length(originData)+1)]
unifQuantile <- qunif(unifProb,min = 0, max = 1)

plot(unifQuantile,originData,main="Uniform QQ-plot")
abline(line(unifQuantile,originData))
#还原绘制设置
par(opar)

结果如下图，可以发现此数据可以很好的贴合到均匀分布QQ图中的拟合直线上，但是却在正态分布QQ图中有较大的偏移，表明数据更符合均匀分布。

StatQuest-XI-3

QQ图除了检视数据是否符合一个特定分布之外，还可以检视两个数据之间的分布是否相同。假如有两个数据集合A和B，数量分别为10和100，那么数据量较小的数据的每一个数据点作为一个分位数，也就是A的分位数的数目为10，数据量较大的数据则以数据量较小的数据的数据量计算分位数，也就是说B虽有100个数据，但是计算它的10个十分位数，然后将两者的分位数绘图即可。

以上过程只是为了说明QQ图的原理和计算方法，其实在R中是有专一的函数用于绘制QQ图的。

比如第一个例子中的从正态分布N(5，10^2)中随机抽取40个数据作为原始数据的正态分布QQ图为：

originData <- rnorm(40,mean = 5, sd = 10)

qqnorm(originData)

qqline(originData)

此外，qqplot函数可以用于其他分布或数据集之间的QQ图绘制。

分位数应用之二：分位数标准化

在芯片实验中，常常会遇到一种标准化方法——分位数标准化。这也是分位数的一种应用，先看一下分位数标准化要解决的问题是什么。

分位数标准化是为了去除仪器或技术误差

在一次芯片实验中，如果芯片质量较好或仪器的功率、发光较好等等情况下，那么这一个芯片的数值会整体偏高。然而这种数值偏高其实只是仪器或技术误差，和生物学意义并没有关系，因此为了对这种不同生物重复之间的基因表达数值进行标准化，则可以使用分位数标准化的方法。

分位数标准化的计算方法

分位数标准化非常简单，就是按照分位数求均值，并把均值作为标准化值。

如下图（左）所示的原始基因芯片表达值，共3个样本，每个样本有4个基因（不同颜色表示），他们整体的表达量是不同的，可以看出样本2#的表达量整体偏高。

分位数标准化的计算方法为：

1. 将原始数据按照表达量排序，并作为分位数，如下图（左）所示，从上到下，表达量越来越小；

2. 不同样本间相同分位数求均值，如下图（中）所示，样本1的蓝色、样本2的黄色、样本3的绿色是同一个分位数，因此计算三者的均值。其他类似，共4个均值；

3. 将分位数均值作为各自的标准化值，如下图（右）所示，样本1的蓝色、样本2的黄色、样本3的绿色的标准化值是三者的平均值。其他类推。

StatQuest-XI-4

比如对于以下数据，标准化之后则为：

          Sample1 Sample2

geneA       1       4
geneB       2       5
geneC       3       6

          Sample1 Sample2

geneA      2.5     2.5
geneB      3.5     3.5
geneC      4.5     4.5

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参考资料

StatQuest课程：https://statquest.org/video-index/

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