鲁剑锋：由钉造锤，让应用数学穿梭于多学科前沿

编者按

鲁剑锋，2001 年进入北京大学数学科学学院学习，2005 年获学士学位；2009 年获普林斯顿大学应用数学博士学位，师从鄂维南院士；2009 年至2012 年在纽约大学库朗数学研究所担任博士后研究员，现任杜克大学数学系教授。

2013 年获斯隆研究奖 （Sloan Research Fellowship）；2015 年获美国国家科学基金会职业发展奖（NSF CAREER Award）；2017 年获美国数学及其应用研究所 IMA 奖，该奖项每年只颁发给一位获得博士学位十年内的数学科学家，旨在表彰其对数学科学及其应用产生的革命性影响；2022年当选美国数学会会士，同期入选的院友包括96级院友唐翔、04级院友徐宙利。 

这一期的北大数院学长故事，向您讲述青年应用数学家鲁剑锋的数学研究历程。

引  ·  破局

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用功之深，穷理之熟，

然后能融会贯通，以至于此。

               ——朱熹《朱子全书·学三》

应用数学以数学语言阐释、解决真实世界中的问题，并因此天然拥有多学科融会的特点，弥合物理、化学、材料科学等学科理论、实验与实际应用之间的差距。

“维数灾难”是应用数学领域众所周知的难题——随着方程变量的个数或者维数的增加，计算的复杂度将呈指数级增长，传统求解方法不再具有可行性。因此，开发解决高维的偏微分方程（PDEs）的算法是数学界公认的艰巨任务。

“目前，我正在尝试使用新技术求解高维偏微分方程，其中借鉴了机器学习问题中的算法，例如神经网络等。[1]”

[1] 摘译于 Rhodes Information Initiative at Duke 于 2019 年发布的介绍视频“Meet Jianfeng Lu”

鲁剑锋正走在破解维数困局的路上。

其身后，映照着的是一条湖光掩映、树影斑驳的来路。

意气风华  ·  忆湖光

初夏时节，杜克大学一如往日安宁静谧。Physics Building 二层，青年应用数学家鲁剑锋的办公室外，郁郁葱葱的森林记述着流逝的光阴——自 2012 年秋来到杜克大学，鲁剑锋已在这里工作了十年。

回望这段学术探索的路途，交织相映的，是未名的湖光塔影与杜克的斑驳树影。

左上：杜克大学 Physics Building

左下：Physics Building 对面的树林

右：北京大学未名湖和博雅塔

2001 年，鲁剑锋进入北京大学数学科学学院学习。初到燕园，这位来自杭州的小伙子身边多为通过数学竞赛保送到北大的同学，这让通过高考进入北大的他入学伊始便顿感压力，但他很快把握了北大数院节奏快、强度大、效率高的学习模式。

2005 年鲁剑锋从北大数院本科毕业

进入北大，数院「扎实」而「广博」的学术训练帮助鲁剑锋打开了数学的大门。

北大的数学课程素以艰深广袤闻名，“实变学十遍，泛函心犯寒，随机过程随机过”，这些流传于同学间的调侃印证着数院课程的“硬核”。

但深袤，正是万丈高厦的基底。

“我的数学基础课，特别是计算数学的基础，基本上都是在北大数院打好的”，梳理过往的学习经历，鲁剑锋对于本科期间扎实的学术训练仍历历在目。回忆起北大学习的点滴细节，“谭小江老师教了两年分析，分别是数学分析和复变函数；蓝以中老师教了多年代数课程；张平文老师是指导我本科生科研的导师；汤华中老师是班主任；平时与李铁军老师交流比较多……”，与老师们的交流、学习对鲁剑锋未来的学术发展产生了深刻的影响。

北大数院，就是这样一个老师们指引学术方向，同学们激荡意气、相互砥砺、共同成长的学术家园。与鲁剑锋同年入学的同学，还有肖梁、方博汉和余君等，三位老师已相继加入北大数学学科。如今，大家都活跃在科研一线，作为优秀的青年学者，立于各自研究领域之潮头。

鲁剑锋与计算系同学合影（左二为鲁剑锋）

蓬勃的朝气在这里总能碰撞出火花，那段时间里，鲁剑锋结交到许多朋友，“开阔了视野，学习了各种新的知识”。未名湖边多了一群热情洋溢的年轻人——他们心情舒闲，又执着进取。在园子里，他们喜欢探讨数学，专精覃思，常为一个问题连续工作七八个小时；压力大时，也会聚聚会、打打球……在北大的四年时光里，他们无忧无虑地为心中热爱投入全部精力。

这群志同道合的年轻人或许不曾预料，二十年后，他们已成为学术圈中瞩目的新星，任教于全球各地，并肩书写着北大数院「黄金一代」的传奇。

研精覃思  ·  筑学路

在北大，扎实的专业积累、参加信息学奥赛的经历以及广泛的学科涉猎，让鲁剑锋将数学知识施展到科学的各个领域，并最终走上了计算数学的道路。

本科期间，鲁剑锋广泛学习各学科课程，“我对一些其他的学科也比较感兴趣，比方说我也上过一些物理的课。”回忆起选择专业时的场景，师长的介绍与交流发挥了至关重要的作用：“当时是有分系大会，张平文老师跟我们介绍情况，我听后感觉比较激动，觉得计算与应用数学有很大的前景，所以当时想了想就去了。”

“想了想”的背后，鲁剑锋对应用数学的思考正不断深入。本科毕业时，他曾为师弟师妹们撰文讲述自己对应用数学的理解，“自然科学和工程领域中数学知识无处不在，甚至在人文学科中数学也扮演着越来越重要的角色”。

在鲁剑锋的研究历程中，在数学和其它领域的前沿问题之间来回穿梭让他受益良多。他的主要研究成果包括突破性的阐释电子结构模型、多尺度方法、稀有事件以及量子分子动力学，而他在表面跳跃算法的数学理解上的最新贡献也在量子化学界引起了极大的反响。

谈到多学科领域的研究工作，「好奇」是鲁剑锋反复提到的关键词，“我一直对其它科学和工程学科的最新突破感到好奇，而我的大部分研究也是在好奇心的驱使下去试图理解物理学家、化学家和材料学家们创造的模型及数值模拟工具，并试图从数学的角度去理解它们，帮助他们改善现有的方法。”

好奇驱动了前沿的探索，「合作」则如虎添翼。来自杜克大学、斯坦福大学、纽约大学、哥伦比亚大学等多所名校数学系的导师及合作者对鲁剑锋产生了极大的影响，“他们在应用数学和计算数学等各个方面教会我很多”。同时，鲁剑锋在杜克大学物理学、材料科学、统计学、电气工程、化学等领域的同僚也不断给他的研究带来新的机遇及挑战。

在不同学科之间「游走」的鲁剑锋表示，他研究的一个长期目标就是想要在应用数学与理论化学及材料科学之间建立更紧密的联系，“从数学的角度来讲，这常常是一种令人着迷的挑战，不断要求我们在数学方面取得新的进展，我希望这一研究方向能够在各学科之间产生富有成效的交叉与互动”。

“过去的工作也没什么好谈的对吧？”鲁剑锋紧接着谈起他最近的工作，正是用神经网络去求解高维的偏微分方程问题，还有一些量子蒙特卡洛算法的分析和算法设计问题。当谈起工作时，鲁剑锋神采奕奕，称研究结果为「Exciting！」。

对于鲁剑锋的研究，他的博士生导师鄂维南院士曾这样评价：

鲁剑锋涉及的领域非常广泛，从量子力学的数学基础，和林霖合作研究密度泛函的算法，高维空间的采样算法，图像处理，到用深度学习来解微分方程等，都是具有开创性的研究。他的研究往往非常快、非常超前，超前到大家还没有意识到他研究的重要性，在学界评价方面这其实是比较吃亏的，但他所做的工作确实非常好，作为他的导师，这一点我看得十分清楚。

梁启超说「少年人常思将来」，常思将来则生希望心，故能进取日新，以获破格成就，这是对鲁剑锋学路最好的注解。

以钉造锤  ·  促融会

“我们不能只有一把锤子”，鲁剑锋说。

“我们不能不管看到什么样的钉子，都拿同一把锤子敲一下，这不叫应用数学。我们很多时候还是要从问题出发，你看这个问题需要什么工具，然后你去学，然后再去帮它解决”。

计算数学如今已是许多学科的支柱，是工程和科学领域里不可或缺的一部分，它有着强烈的学科交叉色彩。计算数学家不仅需要「穷理之熟」，深入数学理论，还需要「用功之深」，时刻关注工程及其他学科的热点问题，要能灼知哪些问题是能够用数学去解决的，这需要强大的学习能力和敏锐的判断力。鲁剑锋最近的工作有一个张量的问题，其中便涉及到一些代数几何的内容。“如果需要的话，会去学一学”，对此，他谈笑自若。

随着深度学习的发展，学科之间的区别也在缩小。计算数学、统计、计算机科学等学科的交叉越来越多、逐步深化，这直接体现在部分论文在相互领域之间都能投稿。在此背景下，计算数学家一方面要理解其他学科的问题所在，一方面要将数学工具介绍给其他学科，真正做到「融会贯通」。

“一个比较重要的是学习能力，第二个还是要广阔的知识面”，鲁剑锋总结道，“我觉得我还是一直受益于在北大的基础训练”。

要「贯通」，承继北大的教学传统，教、学相长是鲁剑锋坚持推进的方向。数学系的课程往往难以一遍学会，“但你教一遍之后就真懂了”。

谈起自己的教学经验，鲁剑锋谈到，他会经常给学生开一些研究性的课程，在教学过程中能更深刻地学习领悟一门新学问。前两年，他就在杜克大学开了一门《强化学习》课程，有时将研究问题介绍给对此充满好奇且兴趣盎然的学生，和学生一同学习，“看看能不能解决什么问题，从学科角度来说，我们还是要更加关注一些真正的应用问题”，鲁剑锋补充道。

修读过课程的同学留言：“杰出的数学家，向他学习是很好的经验！”、“课堂很有挑战性，但老师的 Office Hour 很有帮助，而且内容也很有趣”。

薪火相传 · 助传承

在数学界，不断学习、并迈入新的领域，是一件需要「勇气」的事情，因为数学的任何一个分支，都是一个深不可测的渊谷，倏烁晦冥之间，令人望洋兴叹。

鲁剑锋的导师鄂维南就素以「勇敢」著称，“只要当他认可了一个有前景的方向，过几年就可能彻底转变研究道路”。鄂维南老师是中国科学院院士，也是计算数学的领军人物。

“这种决心不是普通人能做的”，每当谈起导师，鲁剑锋都会肃然起敬，“我觉得老师最厉害、最令人佩服的一点，是他的眼光非常准确，他对于学术方向的判断，我觉得是非常有前瞻性的，而且是非常高瞻远瞩的”。

英雄主义的叙事固然令人振奋，但英雄们背后一代代的薪火相承，往往更令人神往回味。师长启灵篇，启学问知识、技能巧思，养气质品格、胸襟视野，一代代北大数院人的传承不仅是学术的延续，更是学科精神、人生之志的承继。

“我觉得最重要的还是学术品位，包括做学问的风格，我觉得这正是北大数院老师们对我最大的影响”，鲁剑锋笑言。

在北大，数学精神的传承如涓涓细流，润物无声。但随着时间的推移，未名湖影之中的流水潺潺，终将汇聚为洪流入海，势不可挡。

文字：夏飞黄、柴亦林

采访及整理：熊云丰、刘震

图片：周墨、柴亦林、受访者提供

排版：曹璇

责编：面面、左阿琼

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