毕达哥拉斯在铁匠铺发现锤子声音的和谐？当真？
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以后，毕达哥拉斯在铁匠铺发现锤子声音的和谐的著名故事可以改成这样了：毕达哥拉斯来到花果山，看见孙悟空变出几个替身，每人拿着粗细相同，但长度不同的金箍棒，捣着从太上老君那里讨来的药材。从金箍棒振动的声音，和金箍棒的重量或长度，毕达哥拉斯发现了音乐的和谐。
撰文 | 吴进远（美国费米国家加速器实验室）
作为爱好音乐的较真理科生，我和心目中的“女神”珍旭班长、泉余室友一同梦回考古了七声音阶的起源（见：向牛学琴：伟大的七声音阶是怎样出现的），又穿梭时空拜会了朱载堉、寻访了维也纳，求得些许对十二平均律的洞见（见：问道朱载堉，寻踪维也纳：十二平均律的前世今生）。未曾尽兴的我们搭乘穿梭机继续巡游，最后在一个城市停了下来。这里到处都是方方正正的白石头建造的房子。拐过街口，是一个熙熙攘攘的市场，人们哇哩哇啦地交谈着。
“这古希腊语我们听不懂可怎么办呢？”我有些担心地说。
“放心吧，我们有这个。”珍旭班长拿出三个耳塞：“怎么样，超小型AI翻译机。”
我接过耳塞戴上，周围人们原来不知所云的谈话在耳塞里变得可以听懂了：“勒过好多钱？相宜点塞？”
看着我有点蒙圈的样子，珍旭班长说：“开发这个翻译机的公司在成都，在没有网络离线翻译时，由于内存有限，只能按缺省设置，用四川话发音。”
我心里念叨着：缺省缺省，这可一下缺了其他33个省呦。我们随着大家穿过市场，来到一个小巷子，见边上一个门开着。我们刚到门口，里面就传出一个老人热情的声音：“进来坐哈嘛。”
1
毕达哥拉斯的锤子
“毕达哥拉斯老师，打扰了。”
“哪个打扰，算题算得哈老壳疼。正好和你们摆摆龙门阵。”
“毕达哥拉斯老师，我们想向您请教音乐的知识。”我说：“五度相生律您是怎么想到的。”
“啊哈，那本来是历史上一些没有留下姓名的音乐家们总结出来的。结果到了16世纪，欧洲的音乐家就把这些方法一股脑都算到我头上了。”毕达哥拉斯摇摇手：“这些瓜娃子，他们晓得个锤子。”
“毕达哥拉斯老师，”泉余室友兴奋地说：“我们还确实听到过一个您和锤子的故事。”
“哦，讲讲来。”
“这是我们刚入学的时候，一位老师作报告时讲的。”泉余室友掏出手机打开，声情并茂地念了起来：
“丁、当！丁、当！……”
一阵阵很有节奏的金属敲击声把毕达哥拉斯从冥冥苦思中唤醒。他正在散步，抬头往声音传来的方向望去，喃喃自语到：“哦，那是一家铁匠铺。”
在铁匠铺里，铁匠师傅挥汗如雨。“为什么声响有的清脆，有的沉闷呢？”
铁匠师傅们在数台铁砧上锤打着不同的铁块，时不时调换着不同的铁锤。毕达哥拉斯出神地站着，就像在虔诚地聆听和领悟阿波罗的一道神谕。
经过反复比较和苦苦思索，他发现锤声的钝锐和铁锤、铁块、铁砧的形状无关，也同铁匠的用力无关，而是由不同的铁锤的重量（确切地说是质量）所决定的。每当听到和声发出，他就请铁匠师傅在换锤间歇时称一下重量，进而发现：和谐悦耳的敲击声是由重量为12、9、8、6磅的铁锤两两搭配时发出的，其他的搭配就不那么顺耳了。他当场兴奋地记下了音度和铁锤重量比的关系：12：6（即2：1）对应八度音，9：6（即3：2）对应于五度音，12：9（即4：3）对应于四度音，9：8对应于二度音。
从铁匠铺获得了灵感，他趁热打铁，很快做了第一个实验。他从铁匠铺借来不同重量的铁锤头，并在家居木屋的墙角上敲了一枚长铁钉，在上面等间距栓挂4根相同的金属弦。为了排除误差，他选择钉身粗细均匀，弦的质地、长短、轻重、粗细和栓法都一样。他在每根弦的末端轮换着悬吊不同重量的铁锤头，使弦受到不同的张力，再相邻两根一组地敲击，先后听到了悦耳的不同谐音。他发现：和弦音度和重物重量比的关系，同在铁匠铺的发现惊人吻合。他这时禁不住激动地呼喊：“啊！阿波罗的和弦永远在振动！”
（以上引文节选自百度百科《琴弦定律》，英语网上以及印刷出版物也有很多讲到这个故事，有些标注了故事是错的，但也有很多没有标注）
“哈哈哈哈哈哈。”毕达哥拉斯爆发出几乎停不下来的大笑：“哈哈哈哈哈哈。”
我听得心里发毛，过了好一会儿才轻轻地问：“毕达哥拉斯老师，有句格言说，人类一思考，上帝就发笑。您，难道是传说中的上帝吗？”
“说啥子话哦，”毕达哥拉斯停下来，慢慢地说：“艺术音乐和人类生活的关系确实非常密切，所以，人们确实可能通过打铁的声音获得一些音乐节奏上的灵感，当然剁羊肉馅的声音也可以，但不会是音高上的灵感。对历史人物，编一点故事和传说也没有关系，你们这次来，不也是准备编一些故事吗？只不过，故事和传说必须符合自然规律。”
2
金属物体的振动频率应该怎么算
“您觉得哪里不符合自然规律呢？”珍旭班长问。
“你们学过数学物理方程吗？”
“下学期才会讲，我自己读过几本书。”珍旭班长回答：“数学物理方程主要讨论各种偏微分方程，偏微分方程中包括拉普拉斯方程、泊松方程、波动方程、热传导方程，等等。这些数学成果，倒是没有算到您的名下。”
“嗯。那么一个金属物体的振动频率应该怎么算呢？”
“物体的振动频率要用波动方程来算，具体数值和材料的很多性质有关，包括密度、弹性模量等等。知道了材料的性质，还需要知道一些边界条件与约束条件，包括几何形状、尺寸、支撑点和固定点位置以及周围介质的性质等等，有了这些信息才能算出物体的振动频率。此外，一个固体物体里面，还存在纵波与横波，由此形成许多振动模式，它们的频率也是不相同的。”
珍旭班长娓娓道来，逻辑严谨，思绪平顺，层次清晰。我情不自禁地转头呆呆地望向她，哇，这难道是缪斯女神下凡吗？
“你讲的很对，”我的騃（ái）想被毕达哥拉斯老师的话打断了，他转过头问我和泉余室友：“你们听明白了吗？”
“不完全明白，”泉余室友说：“不过我粗略地知道，锤子的频率不是单由它的重量决定的。一组声音的频率比例为12: 9: 8: 6的时候，它们确实是和谐的。但是一组重量是这个比例的锤子，振动起来的频率，大概率不是这个比例。”
“可是，”泉余室友接着说：“当时老师报告完，我就提到了锤子重量的这个疑问。老师说：可能不成比例不代表绝对不可能成比例，毕达哥拉斯除了听铁匠打铁，还做了很多类似的实验，比如，把不同重量的铁块挂在相同的琴弦上，仍然得出和谐的频率比。散会后，还发给我一张网上搜到的图片。”
泉余室友点开手机，找到图片给我们看。好嘛，貌似有图有真相。而且，这些锤子上都标注了数字的，大家记得要把图点开放大看哦。
(By Unknown - This image comes from Gallica Digital Library and is available under the digital ID bpt6k58171q.f36, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6978335 )
3
水杯乐器，一次方还是平方根
“咯咯咯咯咯。”这次是珍旭班长发出金属撞击般的笑声。
我的天，我心里暗自惊叹：原来，人类一思考，缪斯女神也会发笑。但我还是不太明白为什么：“别光笑，昨天咱们在维也纳，不是还看见街头音乐家用水杯演奏音乐吗？这和右上角那个图挺像的呀？”
“的确，水杯确实可以作为乐器。对于同一个杯子，放的水越少声调就越高，放的水越多声调就越低。但问题是，杯子振动的频率和杯子里水的质量不是一次方的比例关系，无法成为毕达哥拉斯老师认识音乐和谐的工具。我们把装水的杯子，简化成为一个简谐振子就能看清楚了。”
“对于一个简谐振子，它的振动频率和质量的平方根成反比。当我们（忽略杯子自重）放在杯子中的水的质量比例为12: 9: 8: 6的时候，它们振动的频率比不是和谐的12: 9: 8: 6（的倒数），而是不和谐的3.46: 3: 2.82: 2.44（的倒数）。”
4
弦的张力与振动频率
“当然，打铁、敲钟、敲水杯，情况相对比较复杂，”珍旭班长解释道：“而左下角这个用琴弦做的实验，情况比较简单，因而可以肯定是不对的，弦的振动频率一定不与铁块重量成正比。就算毕达哥拉斯老师您真的做过这个实验，那么您的表情肯定不会是这么怡然自得，而一定是抓狂暴跳。”
“弦的振动是机械波在一维空间的运动。”我赶紧把我知道的抢着说出来：“一维的波动连偏微分方程都不用，只需要常微分方程就够了。琴弦基频的振动频率公式长得是酱紫的。”
“这又能说明什么呢？”毕达哥拉斯老师在考我。
“重量增加，使得琴弦里的张力 T 增加，琴弦振动的频率确实是会变高的。但是，频率并不与张力成正比，而是与张力的平方根成正比。”说着说着，我正好看见从房梁上挂下一根细绳子，下面吊着一个篮子：“嗯，这样吧，我们就用您这个篮子做个实验吧。”
“一言不合做实验，要嘚要嘚。”毕达哥拉斯老师表扬道。他看见我把篮子里的一个布包拿出来放在桌上，急忙说：“我的馕，可得保存好了，要不然喂了老鼠，我就莫得整饭了。”
房子外面有一堆铺广场维修街道用的方石头块，我们三人出去捡了一些回来。然后在篮子里放了 8 块石头。
悬挂篮子的细绳拉得紧紧的，用手轻轻拨动一下，发出“嘣”的声响。我掏出手机，点开调音软件，测量出细绳的振动频率是 100 Hz 多一点。我把细绳朝上系了系，让它的长度略短一点，振动的频率也变高了一些。测量一下，正好 110 Hz，相当于钢琴第二个八度音程中的A。
然后在篮子中放上 16 块石头，弦的张力增加为原来的 2 倍，弦拉得紧了，声音确实比刚才高了些。那么，它的频率是不是原来的 2 倍呢？用手机测量了一下，156 Hz，不是原来频率的 2 倍，而是 1.414 倍，或者说根号 2 倍。
我们把篮子里的石头改成 12 块，和开始 8 块石头相比，弦的张力增加为原来的 1.5 倍，如果它的频率能变成原来的 1.5 倍，也就是说 165 Hz 那就太好听了。两个音符频率比 3 比 2 时，听起来会非常和谐。这两个频率相当于钢琴上的 A 和 E，正好是A调中“多”和“嗦”的关系。可是实际测量一下，细绳的振动频率只有 134 Hz，没错，是 110 Hz 乘以 1.5 的平方根。这个音比C（131 Hz）高，比C#（138 Hz）低，是个在黑白键之间缝隙中的音。和 A 一块听，显然很不和谐。
5
一次方啊在哪里？
“哈哈蛤”，毕达哥拉斯老师满意地点点头。又继续提问：“难道这四张图里没有一个是对的？”
“我觉得右下角这张图是对的，”我说：“直管当中，空气柱振动的频率与管子的长度的一次方成反比。”
“此外，还有张力一定的琴弦，琴弦振动的频率也是与它长度的一次方成反比的。毕达哥拉斯老师或者那个时代的音乐家很可能用改变琴弦长度的方法，寻找过和谐的音符。”
“可是，”泉余室友说：“锤子的这个故事这么好听，我们有没有办法帮助毕达哥拉斯老师把它变成真的。也就是说，我们想出一个锤子的形状，让它的振动频率，和它质量的一次方成反比。”
“我能想到一个形状，”珍旭班长说：“把锤子做成一个柱体，截面积不变。这样一来，它的长度就和它的质量的一次方成正比了。”
“这看着像钢钎呀，”泉余室友说：“这种柱体的振动频率，是和它质量的一次方成反比吗？”
“有点难，但可以做到，不过要讲究方法。”珍旭班长说：“我们必须确保要沿着它的轴向，激励它的纵向振动模式，而要避免激励它的其他振动模式。”
“也就是说，”泉余室友好像明白了：“以后这个故事要改成另一个场景。毕达哥拉斯老师来到花果山，看见孙悟空变出几个替身，每人拿着粗细相同，但长度不同的金箍棒，捣着从太上老君那里讨来的药材。从金箍棒振动的声音，和金箍棒的重量或长度，毕达哥拉斯老师认识到音乐的和谐。”
“哈哈哈哈哈哈。”毕达哥拉斯爆发出大笑，但这次很快停下来：“故事听上去是有些荒诞，但从声学上讲是对的。”
“那么，为什么要避免激励它的其他振动模式呢？”泉余室友问。
“如果激励起横向的振动模式，”我接道：“柱状体就会这样振动。”
“在这种振动模式下，振动频率和物体长度的平方（不是一次方，不是一次方，不是一次方，重要的话说三遍）成反比。这种振动模式无法帮助毕达哥拉斯老师找到音乐的和谐，但却可以帮助我们制作好听的木琴或者钢管琴。”
“听听这个吧。”我点开手机上的一个视频。
“所以，金箍棒要沿着轴向捣，这点非常重要。横着敲就成了木琴。”
6
结 语
毕达哥拉斯老师满意地点点头，拿起一只芦苇笔，伸手要手机。泉余室友赶紧把图片加注模式打开，递过去。毕达哥拉斯老师在每张图上各写了些字。泉余室友接过手机摇了摇，智能手机就把古希腊文手写体翻译成了中文印刷体。
“这么看来，”泉余室友感慨道：“我们言必称希腊，以为学到了知识，有了爬到鄙视链上端的资本，却很有可能是不靠谱的，以后学什么都要好好想想了。”
“很好，知之为知之，不知为不知，是知（智）也。学了东西，要自己想明白，才是严谨的作风。知识的问题是一个科学的问题，来不得半点的虚伪与骄傲。”毕达哥拉斯老师看见珍旭班长拿出笔来要记录，忙说：“不用记，这些话不是我说的。”
“所以，凡事不能不靠谱，就像你，咳咳咳——”毕达哥拉斯老师指着我，忽然剧烈地咳嗽了起来，目光似乎颇有些严厉。
听到这话我吓坏了。心里念叨着：a平方加b平方等于c平方，121，1331，14641，我赶紧暗自复习毕达哥拉斯老师可能考我的知识。
“的叔叔，咳咳咳——”
我松了口气，但一下又变得更加紧张了。我叔叔可是一位严谨的科学家呀。
“他同事。”
马鸭，我心中暗暗叫着，毕达哥拉斯老师，您能不能说话不要这么大喘气呀。
“你叔叔的同事，居然说温酒斩华雄是孔夫子说的。”（见“返朴”2019年3月8日发表的《科学家为什么要研究苍蝇？》）
“哈哈哈哈哈哈。”这回轮到泉余室友爆发出几乎停不下来的大笑：“能不能用简洁的语言，讲述一下孔夫子说的温酒是谁呀？”
“毕达哥拉斯老师，”珍旭班长替我打圆场（原谅我在这么晕囧的情况下，还能够想到这是美人救英雄）：“孔夫子和他叔叔的同事不是一个民族的，因此应该可以原谅。”
“嗯，你说的有道理。”毕达哥拉斯老师说：“我和16世纪的音乐家也不是一个民族的，因此也应该可以原谅。”
坐回穿梭机，还觉得头上的汗没有干。机舱咣当振动了一下，是上铺的室友起来早锻炼，不小心碰了一下床架，一本书从上铺掉下来。我睁开眼，哦，原来没有钻虫洞就回到了当今。斜对面，泉余室友也在当今鼾声如雷。我有点盼着去上课了，想确认一下，她，是不是也回到当今了。
我懒懒地拿起上铺掉下来的书，书名是《The Fifth Hammer》，哈哈，原版畅销书。毕达哥拉斯的故事有一个更精致的版本，讲的是他在铁匠铺听到四只锤子是和谐的，第五只锤子是不和谐的，畅销书作者的论述由此展开。呵呵。
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