与卡拉西奥多里定理有关的重要例子

本文为系列文章 “测度的扩张” 的第五篇。该系列文章将完整、详细地讲述测度扩张的相关知识。

系列文章：

前置文章：

所需知识：集合系、  域、集函数、外测度、测度

前面的系列文章已经告诉我们：对于任意集合系  上的任意非负集函数  ，都可由  构造对应的外测度  ，再将外测度  限制在  域  上就能得到测度。但对于"测度扩张"这个最终目标，文章《卡拉西奥多里定理的证明细节》在末尾处提出了3个问题：

问题1

最开始的目标是将测度扩张到  上，现在已经得到  上的测度，那一定有  吗？甚至，一定有  吗？

问题2

外测度  （基于问题1，还不敢说是测度）在  上的取值，与原来的非负集函数  的取值一致吗？

问题3

我们曾因Carathéodory条件需要遍历幂集  而认为其不切实际；现在即使知道集合系  是  域，但仍然不知道它具体是什么，或者说具体包含什么  可测集，不知道具体应该怎样操作。

本文将通过重要的例子以及相关结论，讲讲这些问题。

1. 问题2的相关例子

为什么跳过问题1直接讲问题2？

我们看下面这个例子：

例1

设全集  ，集合系  ，以及定义在  上的非负集函数  ：

嗯？怎么集合  的函数值比集合  、  的函数值还要大？

例1（续）

通过外测度的构造方法（《测度扩张的重要工具：外测度》），可得定义在幂集  上的外测度  ：

可见：

外测度  在集合  上的取值与原来的  不一样！

这不就是问题2所说的情况吗？通过非负集函数  构造得到的外测度  是有可能与原来的值不一样的！

2.   与  的"纯天然"关系

如何保持  上的函数值不变？不着急，我们先了解一下这个  和  之间的关系：在通过非负集函数  构造外测度  时，它们之间就已经存在一个 "纯天然" 的关系。

结论1

已知定义在集合系  上的非负集函数  ，以及由  构造的外测度  ，则必然有：  。

这是由外测度的构造方法所决定的。由外测度  的构造过程可知：

或简化表达为：

可见  是一类值的下确界，或者说，只要集合序列  覆盖集合  ，就会有：

我们看看集合序列  ：

  且  

明显集合序列  也能覆盖集合  ，于是有：

这就得到结论1的结果。证毕。

3. 如何保持函数值不变？

在构造外测度  时，相关的输入信息就是集合系  和定义在其上的非负集函数  。如果要确保  在集合系  上的值与  保持一致，估计需要对  和  做一些限制。不管还有没有其它方法，我们先直接给出一个相关的结论：

结论2

已知定义在集合系  上的非负集函数  ，以及由  构造的外测度  ，如果  同时满足单调性和半可列可加性，则有：

即  在  上的函数值与  保持一致。

我们看看怎样证明结论2。前面结论1已经提到  与  的 "纯天然" 关系：

接下来就看怎样证明  。对任何满足  的集合序列  ，易知：

由于  满足半可列可加性（《可列可加性的"一半"》），可知：

结合式(3)和(4)可得:

而  又同时满足单调性（《集函数的非负性和单调性》），可知：

因此式(5)可进一步化为：

也就是说，只要集合序列  覆盖集合  ，就会有式(6)成立，那自然有：

根据式(1)，式(7)的右边不正是  吗？于是有：

结合式(2)和(8)，即得：

结论2证毕。

结论2指出，只要非负集函数  同时满足单调性和半可列可加性，就能保证构造得到的外测度  在原集合系  的函数值不变。这才算是扩张嘛！如果把原来的函数值改变了，那还算得上扩张吗？那已经是改头换面了！

回头看例1，前面就说过：集合  的函数值比集合  、  的函数值还要大。明显这不符合单调性，导致构造的外测度  在原集合系  的函数值发生改变。

至于还有没有其它方法保证函数值不变，咳咳咳，不好意思，鄙人不知道。

4. 问题1的相关例子

终于轮到问题1了。我们对例1稍作修改：先不定义  的值。

例2

设全集  ，集合系  ，以及定义在  上的非负集函数  ：

通过外测度的构造方法（《测度扩张的重要工具：外测度》），可得定义在幂集  上的外测度  ：

然后筛选  可测集（《通过Carathéodory条件确定测度》），得到：

竟然是：  。

例2里面，最终筛选得到的  域  竟然缩小了！比原来的集合系  还小！这还能算是扩张吗？为什么会这样？我们下篇系列文章再讲！