本文为系列文章 “测度的扩张” 的第三篇。该系列文章将完整、详细地讲述测度扩张的相关知识。 |
例1说明，在扩张集函数之后，不能保证外测度满足有限可加性。
1. 存在不可测量的集合
例1中的外测度 为什么不满足有限可加性呢？那是因为，在构造外测度时，用来覆盖（或测量）目标集合的集合序列（那些已经有测度值的集合序列），如：并不能够将集合 和 分隔开来：这些 和 明显只能由 和 组成，没办法将集合 和 分隔开来，因为集合序列在覆盖 的同时必然也会覆盖 。对于这种情况，任佳刚、巫静老师在他们的书《测度与概率教程》中有更形象的描述（第34页）：| 如果你手上只有一把刻度为1厘米的卡尺，你怎么可能去测量毫米级的零件？而如果你的尺子是毫米级的，你就无法测量微米级的零件，更不用说纳米级的了。期待拥有一把放之四海而皆可的尺子是不可能的，也是不必要的。因此对任何一把卡尺，都有它不可测量的东西。同样的，对任何代数上的测度，一般都有它不可测量的集合。 |
例1中的集合 和 就是 不可测量的集合。关于这个，大佬的话还没说完：只关注可测集 如果能做到精确测量，我们就说这个集合是可以测量的，简称可测的。
在实际工作中，重要的不是有没有卡尺不可测量的零件，而是我们面对的零件是不是可以测量的。同样，在数学上，重要的也不是有没有不可测集，而在于可测集到底有哪些，是否能满足我们的需要。因此，我们以后只关注可测集。 |
2. Carathéodory条件
好好好，我们都听大佬的，只关注可测集。但问题是，怎样才能确定给定的一个集合是否可测呢？大佬的大佬Carathéodory直接给出方法：
| 已知 是全集 的一个外测度，记 是全集 的幂集。给定 的子集 ，对于任意的集合 ，如果都满足：则称集合 满足Carathéodory条件，也可称 为 可测集。 |
按照上述说明，对于任意的集合 ，必须拿出幂集 中所有集合，看看是否都满足式(1)，才能判断它是否为可测集。这判断条件也太不切实际了吧？
别着急，这Carathéodory条件一时之间确实难以接受和理解。大家先往后看看Carathéodory定理在说什么，以及有什么用，也许回头再来看这个条件，会有更深刻的体会。Carathéodory定理
记 为全体 可测集（通过Carathéodory条件筛选得到的）组成的集合系，则集合系 为 域， 是测度空间。 |
定理指出，全体 可测集组成的集合系 竟然是一个 域！而且，外测度 限制在 上竟然是一个测度！这不正是我们想要的测度扩张吗？
文章开头通过例子指出，构造出来的外测度 在幂集上不一定是测度；接着第2节告诉我们，那是因为幂集里存在不可测集；文章第3节则告诉我们怎样找出可测集，而且还通过Carathéodory定理进一步指出，外测度 限制在可测集组成的集合系 上时就是一个测度，而这正是我们进行测度扩张的目标！
既然Carathéodory定理这么强大，我们来看看怎么证明。由定理内容可知，证明目标有两个： 目标2 - 证明外测度 是 上的测度；
先看目标1，证明 是一个 域。文章《集合系的终极配方》提及，如果集合系是域，且对 "单调不减序列的并集" 也封闭，则该集合系为 域。因此可以把上述目标调整为： 目标b - 证明 对单调不减序列的并集封闭（进而是 域）；
目标c - 证明外测度 是 上的测度；
对于目标c提及的测度（《最重要的集函数：测度》），涉及可列可加性，通过文章《可列可加性的“一半”》回忆一下相关的定义：
| 已知 是集合系 上的集函数，如果对任意可列个两两不交的集合 ，只要 ，就一定有 |
这里看到可列可加性所考察的集合序列是 "两两不交" 的，而目标b所考察的集合序列则是 "单调不减" 的。文章《集合序列并集运算的等价形式》的结论3提及：当集合系是环时，"单调不减序列"、"两两不交序列" 以及 "任意集合序列" 的并集具有相同的性质。
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因此，如果完成目标a的证明，保证集合系 是域（也是环，《有限集合运算全家桶》），同时也就保证 "单调不减序列" 或 "两两不交序列" 的并集具有相同的性质。此时可以将目标b所考察的集合序列调整为 "两两不交序列"，与目标c的考察对象保持一致，两步并作一步走，有助于减少证明篇幅。于是，上述证明的目标又可调整为： 目标② - 证明 对两两不交序列的并集也封闭（从而 是 域）；
目标③ - 证明外测度 是 上的测度；
下一篇系列文章，我们将按照此思路，详细讲述Carathéodory定理的证明细节。