卡拉西奥多里定理的证明细节

本文为系列文章 “测度的扩张” 的第四篇。该系列文章将完整、详细地讲述测度扩张的相关知识。

系列文章：

前置文章：

所需知识：幂集、集合序列的并集

上一篇文章《通过Carathéodory条件确定测度》的Carathéodory定理指出：将外测度  限制在集合系  上，就能得到一个新的测度。但并未给出定理的详细证明，只是给出了证明思路（或目标）：

  目标① - 证明  是一个域；

  目标② - 证明  对两两不交序列的并集也封闭（进而是  域）；

  目标③ - 证明外测度  是  上的测度；

接下来将按照此思路进行证明。

1. 证明  是一个域

对于任意的集合  ，由  的定义可知：

而式(1)也可看作：

式(2)则说明  。由集合  的任意性可知：

结论1  集合系  对补运算封闭.

接着，对于任意的集合  和  ，多次应用  的定义，可得：

而由于：

以及：

通过式(4)和(5)，可以把式(3)进一步变换为：

把  看作一个整体，因  ，再一次根据  的定义，可得：

通过式(7)，把式(6)进一步变换为：

上式说明，集合  。由  和  的任意性可知：

结论2 集合系  对交集运算封闭.

结合结论1和2，可知：

结论3 集合系  是域.

2. 准备工作：有限可加性（增强版）

文章《通过Carathéodory条件确定测度》提过：通过非负集函数所构造的外测度  不一定具备有限可加性。而这一节所说的则是：当  限制在集合系  上时具备更强的有限可加性，具体就是：

结论4

如果集合序列  两两不交，则对任意的集合  ，都有：

而当  时，式(9)可变换为：

式(10)说明有限可加性仅是结论4的一个特例，也可以说结论4是有限可加性的增强版。

接下来一起看看结论4的证明。已知集合序列  两两不交，对任意的集合  ，由于  ，根据  的定义可知：

类似的，由于  ，再次根据  的定义，则可将式(11)继续演进：

如此类推，依次对  操作，可得：

这样就得到结论4。

3. 证明  对两两不交序列并集运算封闭

沿用第2节中两两不交的集合序列  ，以及任意的集合  ，我们的目标是证明：

为此，根据  的定义，须证明：

而由外测度的半可列可加性（《测度扩张的重要工具：外测度》）可知：

因此，我们还需证明等号的另一半：

由结论3知  是一个域，因此对每个  均有：

于是，对任何  ，由  的定义可得：

同时，明显有：

根据  的单调性，可将式(13)变换为：

再根据结论4的式(9)，可将式(14)变换为：

这里注意，式(15)中的  和  都是固定的数值，因此在式(15)中令  ，即得：

再次由外测度的半可列可加性可知：

结合式(17)，可将式(16)变换为：

结合式(12)和(18)，可得：

因此  ，由此说明：

结论5 集合系  对两两不交集合序列的并集运算封闭.

结合结论3和结论5，根据《集合序列并集运算的等价形式》可得：

结论6 集合系  是  域.

4. 证明外测度  是  上的测度

我们先看看测度的定义（《最重要的集函数：测度》）：

定义

已知集合系  且空集  ，而  是  上的非负集函数（非平凡），如果  满足可列可加性，则称集函数  为测度。

明显可知  且外测度  是  上的非负集函数（非平凡），还需要证明外测度  限制在  上时满足可列可加性。

继续沿用第2、3节中的两两不交集合序列  ，以及任意的集合  ，可知有第3节中的式(16)：

当  时，上式则变换为：

由外测度的半可列可加性可知：

由外测度的性质知  ，同时结合式(19)和(20)可得：

上式说明外测度  在  上满足可列可加性，进而说明：

结论7 

外测度  限制在集合系  上时是一个测度，进而可知  是一个测度空间。

由结论3、结论5以及结论7可知，文章开头所提的3个目标均已完成证明，因此也完成了Carathéodory定理的证明：

Carathéodory定理

记  为全体  可测集（通过Carathéodory条件筛选得到的）组成的集合系，则集合系  为  域，  是测度空间。

5. 小结

从Carathéodory定理的证明可以看出，借助Carathéodory条件，从任何一种外测度出发，都可以定义一种测度，而不需知道这种外测度是怎么得来的。这正好说明外测度对于测度扩张的重要意义。

还有一点想说一说。文章《集合系的终极配方》提到：把  域中的集合称为可测集。当时肯定有疑问，为什么要求是 "  域里的集合" 才称为可测集？也许这思路源自于：集合系  是  域，它里面的元素称为  可测集。任意  域即其中的可测集，可能正是对集合系  的抽象。

讲到这里，我们知道Carathéodory条件的强大，但也许还不能完全接受和理解。不着急，我们先留下问题，看看后续的文章，之后再回头过来细品。先回到测度扩张的主线上，看看有哪些问题，看你这次又能想到多少个：

1. 最开始的目标是将测度扩张到  上，现在已经得到  上的测度，那一定有  吗？甚至，一定有  吗？

2. 外测度（基于问题1，还不敢说是测度）在  上的取值，与原来的非负集函数取值一致吗？

3. 我们曾因Carathéodory条件需要遍历幂集  而认为其不切实际；现在即使知道集合系  是  域，但仍然不知道它具体是什么，或者说具体包含什么  可测集，不知道具体应该怎样操作。

后续文章将继续讨论。