有理数是可数的，而且还能这么用！

本文为系列文章 “可测函数的结构” 的第三篇。该系列文章将尝试换种方式来讲述可测函数的基础知识，使之更好地理解和掌握。

系列文章：

前置文章：

所需知识：有理数、分数、整数、互质、笛卡尔积

我们先不加证明地指出：任意一个有理数  都可以写成分数  的形式，其中  和  都是整数且互质。如果要细究，建议还是通过 "实数构造的过程" 来理解。但这个主题比较大，只能后续通过系列文章来讲述了。

1. 有理数集  是可数的

如果拿两个整数集做笛卡尔积  ，就可以将有理数集  一一映射到  的一个子集上（需要一些额外规定，如  限制为非负，且  与  必须同符号）：

这样，根据文章《学校有给你讲过无穷集吗？》中关于无穷集基数的定义可知，有理数集  的基数不大于笛卡尔积  的基数，即：

而由文章《神奇的希尔伯特旅馆》又可知，整数集  是可列集（因为两个可列集的并集仍然是可列集），笛卡尔积  也是可列集（因为可列个可列集的并集仍然是可列集），于是：

由文章《神奇的希尔伯特旅馆》可知，可列集就是最小的无穷集（基数为  ）。有理数集  明显是一个无穷集，且它的基数  ，而基数不比可列集大的无穷集只能还是可列集，所以有：

结论1 有理数集  是可列集，是可数的。

2. 可列集  的用途

在明确有理数集  是可列集之后，文章《神奇的希尔伯特旅馆》的结论1告诉我们：

结论

一个无穷集合是可列集的充分必要条件是，它的所有元素可以排成序列。

也就是说，可以把有理数集  是里的所有数（对，是所有有理数）拿出来排成数列：

这当然存在着无数种排列方法，我们可以把其中随便一个排列记为  ，然后就能有下面这个非常有用的结论：

结论2

已知  和  都是定义在集合  上的实值函数，即从  到实数集  的映射，则必然有下面的等式成立：

其中  是有理数集  的一个排列。

这个结论把事情变得更复杂了吧？集合  表述起来就很简洁，为什么偏偏要转换为更复杂的可列个集合的并集？

没错，形式上变得更复杂了，但结构上就更清晰了：不等号的两边不再都是函数，有一边是常数  。有助于判断集合是否可测：

推论

由于  是有理数集  的一个排列，可知：

因  是  域（文章《最重要的集合系: Borel Sets》），可知：

更进一步，通过上一篇系列文章《可测映射的简单判别法》介绍的方法，就可以解决下面这个问题：

问题

已知映射  和  都是  上的可测函数，也就是从  到  的可测映射，问：  是可测函数吗？

3. 结论的证明

具体怎么解决上面的问题，由于篇幅问题，留到下一篇系列文章再说。接下来回到结论的证明本身，怎样证明：

等式两边都是集合。如果两边互相包含，就能够说明两个集合相等。

证明 Part 1

对于任意的  ，对于任意的  有：

  且  

即  ，因此  。由  和  的任意性可知：

证明 Part 2

对于任意的  ，可知  。由于  和  都是实数，由文章《两个实数之间必然存在有理数》可知，必然存在有理数  使得：

也就是：

同时，前面提到  ，说明  ，于是由式(3)可得：

结合  的任意性可知：

综合式(2)和式(4)可得:

结论证毕。

4. 小结

当我们看到 "两个实数之间必然存在有理数" 这类结论时，第一感觉就是无聊和枯燥！类似的，结论 "有理数是可数的" 初看之下也没带来什么惊艳的感觉。这两个结论，很多时候都会因 "直觉认可/理所当然" 而被忽略掉。而在结论2的证明过程中，我们终于看到了它们的作用。也因为这种严谨，更加坚定了我对数学的信仰——不因人的意志而转移。

类似的，这篇文章所讲的结论2，也有着重要的用途，正如前面所提到的推论以及问题。下一篇文章，将借助结论2，讲讲可测函数的运算性质。