Doctor Curious 第十期：可穿越虫洞 | 中科院理论物理研究所

作者简介

赵龙，理论物理所2018级博士生，导师为郭宗宽研究员，研究方向为引力理论。

自从虫洞这个概念被提出之日起就成为小说，电影，电视等艺术形式中热衷讨论的题材，人们希望借助虫洞实现星际旅行。虫洞是广义相对论预言的一种时空结构，它将两个时空或时空中遥远的区域通过一个喉连接起来。 

图1：虫洞的嵌入图，上下两个平面代表由虫洞连接的两个渐近平坦区域，这里压缩掉了  角坐标

实际上，人类研究虫洞的历史甚至早于黑洞，在爱因斯坦方程被提出一年以后，维也纳物理学家Ludwig Flamm就意识到，史瓦西解可以用来描述一个虫洞。随后，Herman Weyl（1920s），Einstein 和 Rosen（1930s）以及 Wheeler（1950s）等人对史瓦西解或其它虫洞解进行了大量研究。尽管人们对类似于史瓦西虫洞这类几何结构寄予厚望，希望能在实验观测中找到它们的存在的证据，并利用它们进行更加快速的星际旅行。但是有大量理由证明史瓦西虫洞难以满足人们的期待：       

1. 史瓦西虫洞是一个动力学结构，随着时间演化，它的喉的周长（这里周长指嵌入图中压缩  坐标后的周长）会从零迅速增大到最大值然后快速缩小到零。它收缩的速度过快以至于即使以光速传播的信号也不能穿过喉，到达宇宙的另一个区域。2. 史瓦西虫洞时空包含一个过去视界，即白洞视界。这个视界是不稳定的，任何小的扰动都会进一步加速虫洞收缩的速度，因此穿越虫洞也将变得更加困难。3. 在史瓦西虫洞的喉附近，巨大的潮汐力会撕碎每一个试图进入其中的旅行者，除非史瓦西黑洞的质量达到  倍的太阳质量。

即使史瓦西虫洞因为各种各样的问题而不具备可穿越性，但是实际上存在满足爱因斯坦方程精确解的虫洞时空，能够避免上述缺点。这个解的形式惊人的简单，但令人意外的是，它的第一次出现是在1985年，Carl Sagan的科幻小说《接触 (contact)》的手稿中。

为了简单，可以考虑一个具有静态，球对称性的虫洞，它的度规可以写为下面的形式的试探解： 其中  是真空中的光速，函数  确定了虫洞的空间形状。  是径向坐标，当我们从虫洞一侧的宇宙进入喉，再穿过喉到达另一侧宇宙的过程中，  坐标先从  减小到某个最小值  , 然后再从最小值  增大到  。

根据Brikhoff定理，满足真空静态球对称爱因斯坦方程的解必定是史瓦西解，因此我们必须在时空中加入物质。我们希望虫洞具备一些我们想要的性质，因此我们反过来看它们会对物质提出哪些条件：

1. 没有视界。当视界存在时，任何小于光速的信号都不能穿过虫洞，这要求度规中的  处处有限。

2. 存在“喉”。这是虫洞的基本结构，即存在一个最小半径  ，如下图所示[1]

可以证明满足以上两个条件的情况下，在喉附近  观者将可以观测到负能量密度，即弱能量条件被破坏[1]。Page证明对于一般的可穿越虫洞，即使度规没有静态球对称性，弱能量条件依然会被破坏。很多定理的证明都依赖能量条件，诸如正质量定理，奇性定理或黑洞热力学第二定律等等。但反过来，Hawking发现，在黑洞蒸发过程中，黑洞面积减小，黑洞热力学第二定律被破坏，因此量子场论应该可以破坏能量条件。

尽管量子场论可以破坏能量条件，但是仍然有很多理由阻止它们制造可穿越虫洞，如一些模型不满足场方程，或不满足紫外完备性，或破坏因果性等等。1997年，Maldacena提出AdS/CFT对应，它表明一个D+1维AdS时空中的量子引力理论和它的D维边界上的共形场论（CFT）是同一个物理的等价描述。2017年，PingGao，Jafferis和A. C. Wall等人证明，在AdS/CFT中，如果在边界场论上添加一个非局域的double trace变形： 如果  的标度量纲选择恰当，可以让这个变形对时空的影响在靠近边界处微弱，但是在深入内部时却很强，通过调节耦合系数  的正负号，可以破坏原本视界附近的平均类光能量条件（ANEC）[2]

这种变形会反作用于时空几何使它产生可穿越虫洞。

在AdS/CFT中，当内部时空为史瓦西虫洞时，对应的边界场论处于TFD态。因为史瓦西虫洞通过喉连接了两个渐近AdS区，因此这个时空有两个边界。TFD态是两个边界的纠缠态，当两个边界纠缠时，大量信息被储存在量子纠缠中，当我们不能透过黑洞视界，观察到躲在虫洞另一端的边界时，我们不能单纯通过半个系统推断这些储存在纠缠中的信息，这时候单一一侧的量子场论看起来就像一个热态。

图3：史瓦西虫洞的时空结构如: a.是Penrose图，b.是Kruskal坐标。左右两边的竖线代表两个渐近AdS边界，竖直方向为时间方向，水平方向为空间方向，45度斜线为光传播的轨迹，  分别代表两个黑洞视界。因此容易看出，在不超过光速的情况下从一侧视界进入虫洞不能从另一侧穿出。

假设时空内的物质场为标量场，它的能动张量为： 计算能动张量的量子力学平均值，需要使用点分离正规化，将场  的乘积项换为两点关联函数，减除掉紫外发散后的部分后取极限，  ，能动张量变为： 

在没有对边界场变形时，能动张量沿着⿊洞视界，例如 的积分的结果严格为零，这个时候没有破坏平均类光能量条件，⾍洞也不可穿越。打开double trace变形后，这个变形更改了标量场的边界条件，因⽽影响了它的两点函数，把这个变形的耦合系数  视为⼩量展开到⼀阶后（因为我们考察的是视界  ，因此后⾯讨论标量场  或边界算符  时均在右侧）： 

第⼀项是没有被影响的部分，第⼆项是⼀阶修正。这样就可以得到它的能动张量的影响。考察平均类光能量条件，需要对能动张量沿着视界求积分，因为能动张量的零阶，也就是没有受到影响的部分积分为零，因此这个量完全由它的⼀阶修正确定。结果显示在下⾯这张图中：

图4：视界  处的能动张量，double trace变形在  时刻打开，从上图中可以看出，在  以后，能动张量总是⼩于零。因此平均类光能量条件被破坏，耦合系数为  即  后等于  ，之前为零[2]。

打开变形后的系统不再是原本哈密顿量的本征态，如果变形打开⼀段时间后就关闭，计算这段时间内能量的变化，会发现，如果选择耦合系数的符号使可穿越虫洞会形成时，系统的能量总是减小的。如果⽤纠缠第⼀定律  （可以视为热力学第⼀定律的量子力学推广）可以得到系统的熵也是减小的。基于AdS/CFT，这说明黑洞的质量和熵减小了。

这个过程可以被理解为⼀个量⼦隐形传态过程[3]。下⾯我们简要介绍⼀下量⼦隐形传态的概念[4]。

假设有⼀对自旋的EPR对  其中⾃旋2在Alice⼿中，⽽⾃旋3在Bob⼿中。现在Alice想要将⼀个量⼦态  传输给Bob，他应该怎么做呢？

将三个⾃旋的量⼦态写在⼀起 然后将这个态按自旋12的Bell基展开 因为自旋1，2均在Alice⼿中，当Alice测量⾃旋12的态后，⾃旋3的态会自动向下⾯四种情况坍缩：

其中情况1就是Alice想要传输的态，后3种与1只差⼀个⺓正变换，Alice只需将⾃⼰的测量结果告知Bob，Bob就可以做⼀个相应的逆变换得到Alice想要传输  的态。因此传输⼀个Bit的量⼦信息需要两个Bit的经典信息。值得注意的是，Bob需要获得Alice测量结果这⼀经典信息才能获得  的量⼦信息，因为经典信息不能超光速传播，所以量⼦隐形传态同样不能超光速传播。

前⾯提到过，和史瓦西虫洞对应的是边界场论处于TFD态，这个态是个纠缠态  ，其中  是能量本征态，  是本征值。  和  分属左右边界。假如Alice想从右边界将⼀个量⼦态  传输给左边界的Bob，他可以⽤右边界的⼀个算符  测量包含  在内的⾃由度，然后将得到的测量值  告知给Bob，Bob 对左边界做⼀个⺓正变换  即可得到Alice想要传输的态，这个过程从边界量⼦系统的观点看是量⼦隐形传态，从内部时空的观点看是打开了可穿越⾍洞使得Alice从右边界释放了⼀个粒子，这个粒⼦穿过⾍洞，最终被左边界的Bob接收。在这⾥，double trace变形和量⼦隐形传态中的经典信道发挥的作⽤是⼀样的。通过double trace变形向虫洞中注⼊负能量使它变得可以穿越。反过来，传输信息又会向⾍洞中注⼊正能量，这会导致⾍洞的喉关闭。因此，为了尽可能多的传输信息，我们需要尽量减⼩粒⼦的能量。但是由于不确定原理的制约，我们不能随意减⼩粒⼦的动量，Maldacena估算了可穿越⾍洞可以传递信息的上限为：  [3]。

受到Ping Gao等人的启发，大量可穿越虫洞在不同模型中被构造出来，比如Xiao-Liang Qi和Maldacena在二维引力中构造了永恒可穿越虫洞[5]，Maldacena构造了4维可穿越虫洞[6]等等。反过来，也有人通过虫洞的性质反过来研究边界的量子系统，因为二维全息模型的边界场论可以通过自旋模型，人们可以通过虫洞的可穿越性预言了冷原子的新的相 [7] 。这为我们提供了⼀个在实验室中检验AdS/CFT预言的可能。

参考文献

1. Michael S. Morris and Kip S. Thorne, Wormholes in spacetime and

their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity,

Am. J. Phys. 56 (1988) 395.

2. Ping Gao, Daniel Louis Jafferis and Aron C. Wall, Traversable

wormholes via a double trace deformation, JHEP 12 (2017) 151.

3. Juan Maldacena, Douglas Stanford and Zhenbin Yang, Diving into

traversable wormholes, Fortschr. Phys. 65, No. 5, 1700034 (2017).

4. C. H. Bennett, G. Brassard, C. Cre ́peau, R. Jozsa, A. Peres, and W. K.

Wootters, Teleporting an unknown quantum state via dual classical

and einstein-podolsky-rosen channels, Phys. Rev. Lett. 70(13), 1895

(1993)

5. Xiao-Liang Qi and Juan Maldacena, Eternal traversable wormhole,

arXiv:1804.00491

6. Juan Maldacena, Alexey Milekhin and Fedor Popov, Traversable

wormholes in four dimensions, arXiv:1807.04726

7. Tian-Gang Zhou, Lei Pan,Yu Chen, Pengfei Zhang and Hui Zhai,

Disconnecting a Traversable Wormhole: Universal Quench Dynamics in Random Spin Models , arXiv:2009.00277.

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