材料力学新算法系列讲座（五）：连续分段独立一体化积分法

李银山

(河北工业大学 机械工程学院 工程力学系，天津300401)

摘要：提出了一种解决杆件结构弯曲变形问题的创新算法—连续分段独立一体化积分法。此算法是材料力学与计算机编程有机结合的一种快速解析法。本系列讲座通过材料力学与计算机编程的有机结合，对材料力学的教学方法进行有效改革, 强化对学生的能力培养, 收到了较好的效果。传统算法和现代算法并重，学习传统算法便于理解材料力学基本原理，采用现代算法可以快速，准确解决工程问题，提高效率。

关键词：创新算法，Maple,叠加法，转角，挠度

第五讲

叠加法与连续分段独立一体化积分法

梁的弯曲内力和弯曲变形是材料力学中两大教学重点和难点，是解决梁的弯曲强度和刚度问题的基础，也为解弯曲超静定问题等所必须。在材料力学梁的变形计算中，讲述了两种叠加法。一种是把荷载系统分解为若干独立作用的荷载，分别求解这些独立荷载作用下的位移，然后将这些位移叠加，可以称作荷载叠加法；另一种叠加法是分解结构，即用截面截断结构，将原结构分为基本结构和附加结构部分，把附加结构上的荷载在截面处产生的内力（弯矩和剪力）作用在基本结构的截面处，求得截面处的位移（挠度和转角）。再通过结构各部分变形的几何关系，求得所需截面处的位移。这种方法，在材料力学中也称为叠加法，但与荷载叠加法原来的意义大相径庭。对于这种叠加法，几乎所有的材料力学教科书都没有给出命名，也未有证明内容。蒋持平等(2003)把它命名为“逐段变形效应叠加法”。并给出了这种方法的叙述：“计算静定梁，刚架及其组合结构的位移可以先计算各段的变形（其余部分刚化）在需求位移处引起的位移，然后叠加（代数和或矢量和）”他们用梁的挠曲线方程，线性代数理论和能量法加以证明。并且指出，这种方法不适合于超静定结构^[1~10]。

叠加法是以叠加原理为依据的结构分析方法，它的好处是能将一个复杂的问题分解为若干简单的问题进行分析，具有广泛的适用性（当然，必须满足叠加原理的条件）。叠加法的局限性是必须借助于已知的弯曲变形表,简单问题的弯曲变形必须是已知的。随着人工智能和专家系统技术的不断发展，代表人工智能技术在数学领域的应用典范——计算机代数系统，伴随着计算机技术的不断发展而迅速崛起。Maple, Mathematica，Matlab，MathCAD等都是非常实用高效的计算机代数系统，具有很强的符号运算、数值计算、图形、编程等功能，和友好方便的人机交互界面，其应用遍布科学研究，工程应用和辅助教学等^[11~22]。用连续分段独立一体化积分法和计算机编程相结合求解弯曲变形问题就显得轻松自如，不再需要借助于弯曲变形表。

1.叠加法求解梁的弯曲变形问题^[23~27]

1.1符号约定

符号说明如下：

① 载荷集度q：向上为正,“+”。

② 集中力F：左上右下为正，“+”；

③ 集中力偶M_e：左顺右逆为正，“+”；

④ 剪力F_s：左上右下为正，“+”； 

⑤ 弯矩M：左顺右逆为正，“+”；

⑥ 转角θ：逆时针为正“+”；

⑦ 挠度ν：向上为正,“+”。

⑧ 弹性模量E；

⑨ 截面惯性矩I。

1.2 叠加法

1.2.1 求解弯曲变形的叠加法

等截面梁的挠曲轴近似微分方程为

在弯曲变形很小，且材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的微分方程式(5-1)是线性的。又因在小变形的前提下，计算弯矩时用梁变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系也是线性的。这样，对应于几种不同的载荷，弯矩可以叠加，方程式(5-1)的解也可以叠加。例如，F、q两种载荷作用时的弯矩分别为M_F和M_q，叠加M_F和M_q的结果就是两种载荷共同作用时的弯矩M，即

设F和q各自单独作用下的挠度为分别为ν_F和ν_q，根据式(5.1)

若F和q共同作用下的挠度为ν，则ν与M的关系也应该是

将式(5.2)代入式(5.4)式，并利用式(5.3)，得

可见F和q联合作用下的挠度ν，就是两个载荷单独作用下的挠度ν_F和ν_q的代数和。这一结论显然可以推广到载荷多于两个的情况。所以，当梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每一载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时的变形。这就是计算弯曲变形的叠加法。为此，将梁在某些简单载荷作用下的变形列入表中，以便直接查用；利用这些表格，使用叠加法，可较方便地解决一些弯曲变形问题。

1.2.2对称性的利用

对于一些特殊问题，利用对称性与反对称性可以使计算工作量至少减少或更多。为此介绍几个定理如下：

定理一：定义在对称区间(-l,l)内的任何函数F(x)，必可以表示成偶函数H(x)与奇函数G(x)之和的形式，且这种表示法是唯一的。

定理二：任一n阶实方阵[A]，可以表示成一对称阵[B]和一反对称阵[C]之和，且表示法是惟一的。

定理三：在线性对称结构上任一载荷可以分解成一对称载荷与一反对称载荷之和。

定理四：在对称载荷作用下，对称结构对称轴（或对称面）处横截面上的反对称性内力（剪力F_S）为零；而在反对称载荷作用下，则该截面的对称性内力（弯矩M）为零。

1.3 例题讲解

例题5.1 已知简支梁受集中力F=ql，集中力偶M_e=ql²和分布载荷q如图5.1a所示，q，l，EI 均为已知。求C截面的挠度V_C和B截面的转角θ_B。

解：叠加法

第1步 将梁上的载荷分解为3种情形，如图5.1b，c，d所示。

第2步 查表可得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。

第3步 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和。

综上所述，可得C截面的挠度V_C和B截面的转角θ_B。

负号表示B截面的转角实际方向为顺时针。

2.叠加法与Maple软件的结合^{[22，28，29]}

2.1建模 （叠加法）

现在我们利用叠加法与Maple编程相结合再解例题5.1，具体步骤如下：

① 查表得3种情形下C截面的挠度；

② 查表得3种情形下B截面的转角；

③ 应用叠加法，求和得C截面的挠度；

④ 应用叠加法，求和得B截面的转角。

Maple编程计算结果与手算结果完全相同,见式(5.13)。

2.2 Maple程序（叠加法）

3.连续分段独立一体化积分法求梁的变形^[30~36]

3.1连续分段独立一体化积分法

李银山等（2013年）^[30~32]提出了一种解决结构变形问题的快速解析新算法—连续分段独立一体化积分法。该法首先将梁进行连续分段，独立建立具有四阶导数的挠曲线近似微分方程，然后分段独立积分四次，得到挠度的通解。根据边界条件和连续光滑条件，确定积分常数，得到转角和挠度的解析函数。图5.2是连续分段独立一体化积分法求弯曲变形问题流程图。

基本方程如下：

3.2建模 （连续分段独立一体化积分法）

现在我们利用连续分段独立一体化积分法再解例题5.1，具体步骤如下：

① 建立挠度的（载荷集度型）四阶导数微分方程；

② 积分一次得剪力方程的通解；

③ 积分二次得弯矩方程的通解；

④ 积分三次得转角方程的通解；

⑤ 积分四次得挠度方程的通解；

⑥ 根据边界条件和连续条件确定积分常数；

⑦ 求剪力函数、弯矩函数；

⑧ 绘转角图和挠度图, 用连续分段独立一体化积分法绘制的转角图和挠度图如图5.3所示；

⑨ 计算简支梁的指定的挠度v_B、转角θ_A和转角θ_B。

连续分段独立一体化积分法计算结果与手算结果完全相同,见式(5.13)。

3.3 Maple程序（连续分段独立一体化积分法）

4.结论

4.1叠加法需要借助于查表,新算法不需要。

叠加法的局限性是计算弯曲变形需要借助于已知的简单载荷的变形的表格；连续分段独立一体化积分法不需要。

4.2连续分段独立一体化积分法+Maple编程既建模简单、又计算速度快。

连续分段独立一体化积分法求解梁的弯曲变形，建模简单化，编程程式化，计算快速化，结果解析化，图形一体化。

4.3材料力学+Maple编程=如虎添翼。

材料力学与Maple编程相结合，建模简单，计算速度快，能够得到解析解。材料力学创新教学法融解决实际问题的全过程于一体，包括：力学建模、数学建模、计算机编程、符号运算、数值计算、计算机绘图等各个阶段，是尝试全过程培养应用型、复合型、高素质人才理论与实践相结合的有效手段。

下一讲预告：

第6讲：弯曲正应力与连续分段独立一体化积分法。

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李银山教授专栏

专栏链接：https://www.koushare.com/topic-sc/i/Li-Yinshan

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编辑：吴良秀

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