七年级一元一次方程章节复习拔高【可下载打印】

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    一元一次方程知识点总结

　　　　　　　　第三章 一元一次方程单元复习与巩固一、知识网络
二、目标认知重点：　　一元一次方程的解法，列方程解应用题难点：　　列方程解应用题三、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程：　　 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。　　要点诠释：　　一元一次方程须满足下列三个条件：　　（1） 只含有一个未知数； 　　（2） 未知数的次数是1次； 　　（3） 整式方程．2、方程的解：　　判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。　　如果，那么；(c为一个数或一个式子)。　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。　　如果，那么；如果，那么

　　要点诠释：　　分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。　　即：（其中m≠0）　　特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为： －=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。2、解一元一次方程的一般步骤：　　　　　　　　　　　　　　　　　解一元一次方程的一般步骤

常用步骤	具体做法	依据	注意事项
去分母	在方程两边都乘以各分母的最小公倍数	等式基本性质2	防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；
去括号	一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号	去括号法则、分配律	注意变号，防止漏乘；
移项	把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)	等式基本性质1	移项要变号，不移不变号；
合并同类项	把方程化成ax＝b(a≠0)的形式	合并同类项法则	计算要仔细，不要出差错；
系数化成1	在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程  的解x＝	等式基本性质2	计算要仔细，分子分母勿颠倒

　　要点诠释：　　　　理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:　　 　　①a≠0时，方程有唯一解；　　 　　②a=0，b=0时，方程有无数个解；　　 　　③a=0，b≠0时，方程无解。知识点三：列一元一次方程解应用题1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：　　（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．　　（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．　　（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．　　（4）解方程．　　（5）检验，看方程的解是否符合题意．　　（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：　　设→根据题意→解这个方程→答。3、常见的一些等量关系　　常见列方程解应用题的几种类型：

类型	基本数量关系	等量关系
(1)和、差、倍、分问题	①较大量＝较小量＋多余量  ②总量＝倍数×倍量	抓住关键性词语
(2)等积变形问题		变形前后体积相等
(3)行程问题	相遇问题	路程＝速度×时间	甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离
追及问题	同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程  同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程
顺逆流问题	顺流速度＝静水速度＋水流速度  逆流速度＝静水速度－水流速度	顺流的距离＝逆流的距离
(4)劳力调配问题		从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
(5)工程问题	工作总量＝工作效率×工作时间	各部分工作量之和＝1
(6)利润率问题	商品利润＝商品售价－商品进价  商品利润率＝×100％  售价＝进价×(1＋利润率)	抓住价格升降对利润率的影响来考虑
(7)数字问题	设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b	抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系
(8)储蓄问题	利息＝本金×利率×期数	本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)
(9)按比例分配问题	甲∶乙∶丙＝a∶b∶c	全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)
(10)日历中的问题	日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7	日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数

知识点四：方程与整式、等式的区别　　（1）从概念来看：　　整式：单项式和多项式统称整式。　　等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m²n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。　　方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。　

　（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。　（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。四、规律方法指导1、判断一个式子是否是一元一次方程：　　（1）首先看是否是方程，　　（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；2、解一元一次方程常用的技巧有：　　(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。　　(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。　　(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。　　(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。

第二讲：与一元一次方程有关的问题

一、典型例题

例1．若关于x的一元一次方程=1的解是x=-1，则k的值是（   ）

A．          B．1          C．-          D．0

分析：本题考查基本概念“方程的解”

因为x=-1是关于x的一元一次方程=1的解，

所以，解得k=-

例2．若方程3x-5=4和方程的解相同，则a的值为多少？

分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x，所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。

解：3x-5=4，  3x=9，  x=3

   因为3x-5=4与方程的解相同 

所以把x=3代人中

即  得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2

例3.（方程与代数式联系）

 a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算 .   

（1）则的值为        ；（2）当 时，=          .

分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，

因为，所以=2-（-2）=4

      （2）由  得：10-4（1-x）=18

         所以10-4+4x=18，解得x=3

例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（       ）

A．       B．    C．     D．

分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题

解：设墨水瓶的底面积为S，则左图中墨水的体积可以表示为Sa

    设墨水瓶的容积为V，则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb

    于是，Sa= V-Sb，V=S(a+b)

    由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为

例5．小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。

分析：“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人，

题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+

解：设开始时，每队有x人在排队，

    2分钟后，B窗口排队的人数为：x-6×2+5×2=x-2

    根据题意，可列方程：

   去分母得 3x=24+2(x-2)+6

   去括号得3x=24+2x-4+6

移项得3x-2x=26

解得x=26

所以，开始时，有26人排队。

课外知识拓展：

一、含字母系数方程的解法：                  

思考：是什么方程？

在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以不是一元一次方程

我们把它称为含字母系数的方程。

例6．解方程

解：（分类讨论）当a≠0时，

      当a=0，b=0时，即 0x=0，方程有任意解

当a=0，b≠0时，即 0x=b，方程无解

即方程的解有三种情况。

例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。

分析：先解关于x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论。

解：将原方程移项得2x+bx=1+a-5，合并同类项得：(2+b)x=a-4

 当2+b0，即b-2时，方程有唯一解，

当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解，

当2+b=0且a-4≠0时，即b=-2且a≠4时，方程无解，

例 8．解方程

分析：根据题意，ab≠0，所以方程两边可以同乘ab

     去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b

     去括号，得bx-b-a+ax=a+b

     移项，并项得(a+b)x=2a+2b

     当a+b≠0时，=2

     当a+b=0时，方程有任意解

说明：本题中没有出现方程中的系数a=0，b≠0的情况，所以解的情况只有两种。

二、含绝对值的方程解法

例9．解下列方程   

解法1：（分类讨论）

当5x-2>0时，即x>， 5x-2=3， 5x=5， x=1

  因为x=1符合大前提x>，所以此时方程的解是x=1

当5x-2=0时，即x=，  得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解

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