2022春夏学期期末总结 | 宋亚男：从昏暗的角落，望见窗外一角青天

八年级River班数学教师 宋亚男

正是宁静的黄昏

伴随着丹洋小老师颁奖典礼的结束，我们的寒假也结束了，开启我们的八下生活。来到学校后，我们“人高马大”的铭杰手拿喜庆的小老虎来“报恩”了，感谢寒假期间丹洋老师对他数学的帮助。小老虎不仅喜庆，更是充满意义，因为这是我们铭杰“一针一线”做出来的。当两个大男孩拿着可爱喜庆的小老虎合影时，心里一阵感动，因为整个假期补课我都在线上，感动于丹洋的负责，感动于铭杰的认真努力，更感动于礼物的真挚。

在寒假刚开始的第一天，就收到铭杰妈妈预定丹洋小老师的课。在这样的“督促”下，我们丹洋小讲堂便顺利展开。在寒假补课期间，每次都能听到铭杰积极回答问题，不懂的地方提出质疑，每天的作业都能认真的完成，虽然每次都会错很多，但他都能在丹洋小老师讲完错题后认真改错。就这样，寒假期间，他们一起提前学完了八下两大章的内容。（因式分解，分式及分式方程）我们把这个称为提前补，目的是为了让学困生提前探索未来要学习的内容，那么接下来正式学习时，他便会充满信心地面对每一个问题。除此之外，他还可以清楚哪个问题他还没有弄明白，以便更加专注聚焦这个问题。开学后，这些目的确实都达到了，铭杰可以非常完美的完成每节课的课前挑战单，上课时非常积极的参与课堂对话，还能提出非常有价值的新问题。（我们一直引导孩子可以提出新问题，因为提出一个有价值的新问题要比你解答几道数学题更有意义）本以为已经做过一遍的练习题他一定会按时高质量完成，他确实不再像以前总是完不成作业，但是呢？错误率还是很高。于是就有了接下来的故事：

我拿着他一片红的练习册问，“铭杰，你觉得如果你妈妈看到你的作业，她会认为你太棒了，每道题都如此认真地订正了？还是她会被你这一片红所吓着？”“我认为我妈妈可能会先夸我的认真，然后再说如果下一次少错点就更好了。”“我认为大部分的妈妈可能会被红一片吓着，我们打个赌如何？”于是我把铭杰的练习发给了他妈妈。

“字迹较之前工整了许多，改错也改得相当认真，虽然红霞霞一片，但我真高兴他的变化，起码态度有了，能一直保持这样积极的状态就更好了。真是不敢回想他以前学数学，做习题的状态，那真让大人抓狂，原以为没戏了，没想到来到这里变化这么大！从抵触数学到愿意试一试，再到喜欢数学并且主动自愿挑战，太多太多的惊喜!!!”我彻底被铭杰妈妈的话感动，她是少数成人中可以用动态的眼光，生长性的眼光看待孩子的变化的妈妈，也许就是有了这样明智的妈妈，孩子才能有如此大的变化。

下午就非常激动地给铭杰看妈妈的消息，“你太厉害了，竟然有这么棒的妈妈，怪不得你越来越优秀呢！”铭杰羞涩的笑了，看得出来，他很感动。之所以让他看妈妈的消息，目的是为了让他知道，他的进步我们都看得见，老师也看得见，妈妈也看得见，一定不要被暂时的“红”所打到。你如果像现在一样，把每道题都搞得清清楚楚，明明白白的，早晚会成功的。

就这样，接下来的每天，铭杰都非常认真的听课，做题，改错。

同伴们总是被他课堂的回答所惊艳，慢慢地，他成了我们班数学逆袭的代表人物，是的，我确实课堂上老夸张的夸他，为了让他有一个我数学越来越棒的镜像，更重要的是同学们都知道他数学原来有多差，但经过努力是可以逆袭的，所以目前数学弱的孩子，请不要放弃，也许你就是第二个铭杰。目的确实也达到了，这是铭杰自己和同伴这学期对他的评价。

终于迎来了期中考试，激动，我比铭杰自己都希望自己成功。成了，我们的铭杰终于成了，从入班的不及格考到了102分，也许我们不应该太重视每次考试成绩，但对于铭杰来说，他自己非常渴望这次的成绩，经过努力后是否可以获得成功，名言说失败是成功之母，我认为这是胡扯，每个人都需要成功带给自己的兴奋，成就，信心，所以，成功才是成功之母。这次的成功对于铭杰来说是十分重要的关键节点，他的努力得到了回报，当你告诉他他多么多么厉害，进步多么多么大，他都是半信半疑的，因为以前的种种都让他坚信自己是一个彻彻底底的数学学困生，所以什么都没有这次的成绩来的直接。接下来他真的认为他自己是厉害的，数学课频频与同伴互动，总可以将自己的疑惑坚定的提出来，与同伴分享自己的观点，很多时候，我们解一道题遭遇瓶颈时，他都能提出非常关键的观点，帮我们扭转乾坤。这不仅仅是我这样认为的，他的同伴也是这样评价他的，大家都能看到他的变化，甚至有同伴认为“邢铭杰简直就是一个妥妥的数学天才，也不知道为什么他在数学课上思维总是那么活跃，老师讲的内容他总能无缝衔接，非常顺畅的回答上来，他总在一些关键之处能给到最关键的那个回答。刚开始，我以为他只是运气好或者嘴快之类的，但是到后来我发现他对于那些问题是真的有自己的独特之处的。”

同时这位伙伴还说到“但是他还有一些缺点，虽然他在课堂上的思维特别活跃，但是由于他有一些拖沓，没法准时地把数学作业完成，这是他的一个不足，虽然他的效率可能不是特别的快，但是他的质量一直都很高，所以我相信未来他一定可以克服。”对呀，即使这学期铭杰的进步那么大，最后还是没有能脱离改错改不完的行列，但我从来没有因为这个生他气，因为我知道他对自己是有要求的，他之所以慢，当然与自己动作慢，拖沓有关系，但更重要的是他会把自己不会的每一道题，不管是大题，还是小题，都认认真真的改正，他已经在尽自己最大的努力做一件事情了，我为什么要再给他压力呢？

在铭杰成就感满满的一学期中，我也是成就感满满，今年只带了一个班，但感觉今年反而是教学以来最忙的一年。现在回望这学期的收获，自己都不敢相信我竟然做了这么多有意义的事情。

首先，当然是在自己所教内容方面的通透让自己兴奋，如在平行四边形的学习中，我对欧式几何公理化系统有了进一步的理解。我们研究一个图形，首先要对这个图形有一个严谨的定义，平行四边形的定义可以有很多，比如两组对边分别平行的四边形是平行四边形；也可以是一组对边互相平行且相等的四边形是平行四边形......到底把哪一个做为定义呢？其实这都不是最重要的，因为考试的时候不会考你平行四边形的定义，但是我们需要弄清楚的是每个图形的本质，它和不同图形之间的关系。出于各种原因，我们的数学家将两组对边分别平行的四边形是平行四边形作为了定义。定义一旦明确，那么接下来我们就可以以定义为起点来探索平行四边形的性质和判定。

那平行四边形都有哪些性质呢？我们先可以根据图形的运动直观猜想平行四边形的性质，有了猜想，接下来就是通过严谨的推理证明我们的猜想（命题）是真命题。或者，我们还可以举反例证伪，从而得到刚刚的猜想（命题）是假命题。这里需要强调的是的一切证明的起点就是我们刚刚确定的定义。但是，是不是所有证明过的真命题都要当做定理呢？这有很多因素的影响，比如，现在为了减压，减少学生需要背诵的内容，就会减少定理的数量。其实最重要的还是因为一个公理化系统不需要这么多的定理，有一些使用率不高的真命题就不会被当做定理。（因为这里没有涉及到公理，所以就没有细聊公理）

反过来，每个命题都有逆命题，也就是平行四边形的判定，接下来就是证明逆命题是否成立，证明起点仍然是定义。

有了这样研究图形的性质与判定的思维武器，我们开启了菱形和矩形的探索之路，这次我们采用的是小组探索并录制视频分享组内的观点的方式。这次的小组讨论和录制分为5个小组，每组5人，要求录视频时每个人都必须参与进来。（后续的教研达成临时性共识，小组学习的人数是有讲究的，最好确定在3人，最多4人，这样在小组讨论的过程中，每人都能参与进来了）这次的小组学习给大部分学生留下了深刻的印象，很多人在期末自评中提到了这次在小组学习中的收获。有的学生说对他们语言的严谨性有了很大的提升，有的学生说整个小组合作时，明白了如何合作，更多的学生说通过完整的探索一个图形的历程，并拍成小视频，让他们对欧式几何的公理化系统有了更深的理解。

接下来在探索正方形时，首先要确定正方形的定义（有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形），以此作为研究正方形的性质和判定的起点。接下来就要出示3×3的表格：

平行四边形的边，角，对角线都有哪些性质，矩形呢？菱形呢？接下来要讨论正方形，如果以平行四边形为起点，需要加一组邻边相等，一个角是直角就可以成为正方形。那么，根据这个定义可知，正方形是特殊的平行四边形，所以平行四边形所有的性质正方形都有。这个是不需要证明的，定义里就有的。但定义里没有说正方形就是矩形，那么接下来就需要证明正方形是矩形，定义中平行四边形加上一个角是直角这个条件就变成了矩形，那么矩形所有的性质正方形都有。矩形也是特殊的平行四边形，相比平行四边形而言，从边的角度，矩形的性质并没有发生变化；角的角度，矩形比平行四边形多了四个角是直角这个性质；对角线的角度，矩形比平行四边形多了对角线相等这个性质，那么结合起来，正方形的对边相等且平行，四个角是直角，对角线互相平分且相等；同理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，那么菱形的性质正方形都有。因此，正方形边的性质有对边平行，四边相等；角的性质是四个角都是直；对角线相等，平分，垂直且平分一组对角。

总之，学习要结构化，每学一个新东西，都要与旧知识建立联系，只有这样，孩子们才能越学越清晰，越学越简单，而不会因为客观的知识点变多，而变得越来越难。

反过来，正方形的判定呢？

有了这样的大观念，有了这样厉害的思维工具，我开始迫不及待地与孩子开启了相似三角形的探索。整个探索历程与全等三角形和特殊四边形的探索历程十分相似，稍有区别的是为了证明关于判定的几个猜想，我们已有的工具不行，所以中间加了一个“脚手架”——平行线分线段成比例。

上完相似三角形后，未来的《直角三角形的边角关系》和《圆》我再也不恐惧了，而是十分太期待，我吃惊于自己现在的改观，记得两年前，王校让自己教初中时，自己的恐惧，恐惧全等，恐惧相似，更恐惧圆，但现在都被自己一一拿下。这时候我更加理解和坚信王校说的知识只会越学越简单，我也更加理解了我们班的学生为什么总是那么期待未来挑战，把已有观念用到探索未来领域带来的兴奋感和成就感真不是做几道练习题所能给予的。

代数方面在我去年的大观念之上又有了新的突破，去年在教完整式运算时我是十分满意的，但这次教研完俊杰的课后，我才明白自己当时执行的有多不好。咳，成长无限时呀！当时我也明白这三个法则

之间是有关系的，先有一个幂，a的m次幂，对这个幂（就是一个单项式）我们对它关注什么呢？其实就是一个变形，我可以关注两个同底数幂的乘法，就得到a的m次方乘a的n次方，这是同底数幂乘法法则。也可以直接把幂的底数a再换成一个幂，那不就变成幂的乘方法则了吗？当然也可以把这个底数a换成乘积的形式，a乘b，它不就变成一个积的乘方法则了吗？就三个法则之间它是有紧密的关系，都是由幂出发。由幂出发还能不能得到别的变形？完全平方公式不就是把底数a变成a+b，或者a-b，只是指数m取了特殊值2，实际上我们还可以再进一步拓宽，比如a加b的和的n次方，那么有兴趣的孩子就有的玩了，这其实就是研究杨辉三角，可以先从a+b的和的三次方开始，然后再到四次方，五次方......

当时我认为搞明白刚刚那些就可以了，这学期的再次教研时，让我明白这一章看似非常简单，其实没有想得那么简单。如，每一个法则都有严谨的推理过程，这是我当时也做到的。同底数幂的乘法法则出来之后，又推广a的m次方乘a的n次方乘a的p次方，这是出于什么考虑呢？这不是很简单吗？没有什么道理可细讲的呀，我们可以张口就来呀！但是王校说我们不能张口就讲结果，我们必须要有依据。这个算式无非就是两次应用了同底数幂的乘方法则。到了初中，推理要做到步步有依据，每一步的推理依据是什么？其实从小就一直都是这样，要关注这个问题。但是有的时候我们老师自己不关注，因为我们小时候并不是这样学习的，我必须承认，我的思维品质很糟糕，我经常是不讲道理的，要么是记了一堆结论化的教条、琐碎的知识点。要去追问依据，就意味着一种反思，反思通常是比较难的。所以我要追问每一步推理的依据。几何如此，代数也是如此，对于孩子来讲没那么容易。但是如果我们一直这样带着，学生自然而然也就能到。

让我更加觉得这章神奇的地方，我却没有点出来的地方还有两点，分别是：

第一个是从特殊到一般，这是一个探索数学问题的基本程序。我们要考虑一个一般性的问题时，没有办法探索时，但是我们可以先由特例入手，小学阶段我们是由操作入手，我们可以在操作动作当中感受，动作的逻辑就转换为思维逻辑，动作经验转化为思维经验，这是我们小学特别重视的。到了初中仍然还是可以动手，但是并不意味着时时刻刻都要动手，我们要变成思维游戏。思维游戏有时候会麻烦一点，我们需要给孩子搭台阶，让孩子有思考的支架。所以，对初中生来说，从特殊到一般是非常重要的思维方式。

第二个是但凡涉及到公式，那它就必须涉及到互逆性，运算律就是互逆，什么叫“律”？其实它就像定义一样，本身就含着“互逆性”，既可以从左到右，又可以从右到左，这个可逆性要从小渗透，因为如果我们不从小渗透，运算律仅仅从左到右用得越熟练，思维方式就越僵化，当你希望他灵活的时候，他根本就灵活不了。我们都是在无数的这种僵化的训练当中成长，最后就会很麻烦。所以我们现在的教学就要关注到这些问题，这里面涉及到这么多的公式法则，如果不关注这种可逆性，最后都是死知识。课堂上训练本身获得法则的过程当中要关注，到练习的时候还要关注，开放拓展的时候还要关注。当然在关注可逆性的过程中，同步也关注开放性，一方面是关注纵向深度和难度的开放度，另外就是朝向未来的生成性。《整式乘除》肯定与未来《因式分解》密切相关，所以自然而然就能带到因式分解，如果当时这章带得比较好的话，这学期我们学因式分解应该会更顺利。

假期丹洋已经带着他的小伙伴完成了《因式分解》的探索，那正式上这节课时丹洋还可以再做些什么呢？于是我们两个商量打造一个多媒体教室，让他提前把这章所有的章节练习做完，改完，然后把本章的易错，难点录制成视频，当其他学生遭遇到问题后，可以扫码听题。“问吧”“答吧”“英雄吧”一面数学墙就这样打造而成。有疑难问题请问吧，有想法，有思路就答吧，对自己有要求就上英雄吧！

《因式分解》如果学好了，接下来的《分式与分式方程》还会难吗？学完这两章内容后，我就迫不及待地应用这些大观念和以前建构生成的一元一次方程观念来探索《一元二次方程》，此刻九上的这一章课件已经做完，爽！接下来九下的《三个二次》还会难吗？大方向肯定没有什么大问题，只是一些细节问题需要我去深度思考。《三个二次》完后，《反比例函数》不就清晰了，接下来呢？接下来九年级所有章节的内容就一一被我攻克，那么，那么我就毕业啦，对的，我终于毕业了，太兴奋了，太快了，太简单了，哈哈哈......对的，就这样，一切都变得那么随意。

停，不要太骄傲，教了一轮不一定就真的达到了最高水平，就像这学期我回头整理小学内容时，当时感觉每章都特别满意，但现在回头看，全是漏洞。这学期整理小学教研录音应该是我这学期最兴奋的点了。以前明白三种数系研究的是三个核心大问题，诞生，比大小和四则运算，通过整理教研录音，我明白了它们的四则运算的算理也具有一致性。太神奇了，这真是把书越读越薄呀。

以前明白了长度测量的本质就是先确定基准，再确定基准的个数（或拉伸系数）。但是这次的整理，我还明白了人民币和质量测量竟然与长度测量是一回事，它们的本质都是一样的。

这是我人民币观念整理的教研录音文字：

质量观念整理的教研录音文字：

整个小学初中的图形运动观念发展历程的教研录音文字：

观察物体观念整理的教研录音文字：

如此系统的整理，让很多观念变得更加立体，更加明了，类似的整理还有很多很多。我一直有一个想法，能在数学组制作一个电子图书馆，把这几年所有的教研录音整理成文字，那么接下来不管是老教师或是新教师，他都可以站在我们已经教研过的基础上进行更高的创作，同样的话题不需要不断地被重复。期待这个梦想能够实现......

宛若黑夜的白昼

寒假中，我们每个人都在创造性地为《玩游戏，学数学》代言时，我邀请了宜镁来录一小段，她也欣然接受了。

当别人都在说自己有多喜欢数学，多喜欢挑战时，她说了完全不一样的话，总之一句话就是我不爱数学，之所以现在很努力地在学习数学，就是为了以后不学数学。她的视频引起了我很多的反思：

是呀，就如同她自己说的，她非常努力地在学习数学这门学科，这是她这个学期的练习册，认真吧！

因为假期跟着丹洋小老师提前补了《因式分解》《分式与分式方程》，因此这学期上课时她回答问题特别积极，练习题的准确率也特别高。

有一次她回答了一道挺难的题，而且语言特别简洁，有逻辑，我被惊呆了。这时博栋“邪魅一笑”，那一笑到现在我都还记得，那一笑我明白是什么意思，于是专门请博栋解释他为什么笑了，他说宜镁怎么变得这么聪明了。对呀，宜镁，你的进步不仅仅是我能感受到，你的同伴也都能感受到。就这样，她每天都可以非常棒的完成作业和改错，非常积极地参与课堂对话，有不会的题找同伴问。终于迎来了期中考试，我认为这次期中考试的成绩对于她来说很重要，她一定会非常在意这次的成绩，果然，这次期末自评中她也提到了那次的考试对她的影响。终于，终于她成功了，重要的是她自己也认为她成功了，她自己也很满意，她是可以学好数学。她的同伴也给予了非常高的评价。那一刻，她特别兴奋，当然我不比她平静多少。“亲，现在你对数学有了改观吗？你爱上数学了吗？”

宜镁是这样回答我的：

看完，听完，我哭了，与寒假的哭不一样，那时更多的是对她的心疼，这一次更多的是难过，失望。接下来的时间我不再那么激动，热情地找她了，对的，很长时间一直是我内心的一个坎儿，我也不想去想，随她吧，我已经努力了，我认为她喜欢上数学了，但她依然说没有，那我也没有办法。但期末总结时，我终于做好心理准备，再细细地思考这个问题，我自己仍然在很多点上想不通，于是找春燕聊，我终于解开了心结。

“知”可分三层，知之者，好知者，乐知者。好知者是有了一个目标，为了这个目标，我可以不断地去努力去朝向。那么，宜镁不就是有了一个文学梦，音乐梦，为了这个梦，他必须先考上自己心仪的大学。要想考上大学，那么现在她就需要努力地学好数学。现在的学，就是为了以后的不学。当然，在这个过程中，曾有那么一刻，一瞬间，宜镁也会因为解答对某一道数学难题而兴奋，而成就感满满，这一定是毋庸置疑的。但确实，她真的没有像个别学生那样如痴如醉地爱上数学，因为他的目标并没有发生改变，学好数学，仅仅是她实现梦想的一个重要阶梯而已。

对于这三种知，知之已经很难了，更何况她现在已经处于好知，这对于她来说已经是一个非常大的突破了，我为什么一直有执念让她必须成为那个乐知者呢？难道我希望她以后必须以数学为自己的挚爱吗？我好像也并没有这样的执念。她在文学方面的闪亮不正是我所佩服的地方吗？我曾无数次幻想过她未来可以站在更大的舞台上唱着自己喜欢的歌曲。那么，为了实现她的梦想，让我所教的数学学科不再成为她考上大学的绊脚石，这不就是我的意义吗？这不就是让我最有成就感的事情吗？

想通这些，我释然了一点点，但好像还是没有彻底疏通自己的情绪，毕竟寒假时，我也是这样想的。通过与春燕老师的请教，我终于解开了心结。（彻底想开的那一刻，我终于释然了，眼泪一涌而出，可见这件事情，在我心里还是压的很深，感谢春燕老师，咳，真是听君一席话，胜读十年书呀，所以，未来还是要多聊聊）是呀，我认为在整个与宜镁的编织中，我们是有很深的生命链接的，从某种程度上讲，我认为爱数学就是爱我，爱我就是爱数学，所以当我那么欣赏她，又那么重视与她的互动，且当她的数学成绩取得了一定成就时，她却仍然说不爱数学，那么，就是不爱我。现在我理解当时为什么那么难过了，因为我把她不爱数学当做了不爱我，但回头想想，并非是这样的，我对她的欣赏是毋庸置疑的，她对我的爱也是毋庸置疑的。

当她从一个连知之者都不是，到现在的好知者，这绝对是她里程碑式的转变，但是我失落于她没有成为乐知者，我难道要像一个木匠一样，让她变成我期待的那个样子吗？更何况我好像并没有期待她以后的生活或者工作会与数学常打交道。她应该成为她自己，我应该是一个园丁，在整个过程中起到的作用不是让她爱上数学，而应该是协助她实现梦想，那个时候她可以自豪地说，数学不再是我的弱项。

想到这些，我释然了，我愿意！

说到这里，我有一个小插曲，我这次的总结的大标题和小标题如何？是不是可有文采，与往常的大白话大不同，这可是我们宜镁帮我想的呢。在我把总结整理完后，我觉得就缺美丽的词藻修饰一番，本想着求助我家王先生，后来想求他还不如求我们宜镁，这可是她的特长，我们可以换个方式交互。且借着给她讲述我总结的大框架，顺便表个白，一举两得。

沉寂时间的山丘

这是寒假结束刚到校报道就开始了数学学习的颂尧：

这是每天课余时间抓着各个小伙伴补差的颂尧：

这是颂尧的脑图作品：

这是颂尧每天的作业和改错：

怎么样？这个孩子优秀不？优秀，必须优秀呀！在校对自己如此高标准要求的他竟然一到假期就几乎完全消失，沉迷于网络不可自拔，作业也不写，打电话打不通，上网课时也几乎消失状态。这不是偶然，而是每次一放假就消失，一开学就激进，这让我开始怀疑我们教学的意义，他不可能在这个学校里待一辈子，他最终还是要离开这个班级，离开这个学校，一旦离开这里，他就又退回去了，那我们教育有何意义呢？

这次的总结，我认真的思考了这个问题，通过与春燕老师的交流，我也暂时性的想明白了一点点：一个人真正的立起来真的需要经历多少次的颓废，立起来，再颓废，再立起来......但是，每一次的退回来，看似回到了原点，但是，他与最初什么也没有的原点绝对是不一样的。一个见过大海与没有见过大海的人绝对是不一样的，曾经站在过舞台的聚光灯下的你与从未见过舞台的人绝对是不一样的，曾经因为听明白一道数学题而兴奋到跳跃的你，因为改错放弃操场奔跑的你，因为做数学挑战视频而兴奋熬夜的你，与早已经放弃数学更何谈挑战的人绝对是不一样的。所以，关于颂尧的立，我们应该给他再加上一个时间轴，也就是真正的要做到相信种子，相信岁月。如果再有几年的沉淀，也许在校的模样就会成为他血液的一部分。如果，如果没有高中，明年他回到了传统学校，他有可能不再高要求自己，甚至再次沉迷网络游戏，但是，那个他，真的还会是三年前的他吗？不是的，一定不是的，他多了一个可能性！所以，这就是我们教育的意义，我们不能把这个过程和未来的可能性全部泯灭掉。

类似颂尧这样的孩子是巨多的，他们会在某段时间激进，也会在某段时间颓废。我们作为老师，需要尽一切可能让他在自己能力范围内尽可能多地发光发亮，让他颓废时，可以被心中的那束光快速拉出来。我们如何温和而坚定地将这些变成一个个故事呢？这将是接下来我要继续修炼的。

这三个孩子的故事其实都是由丹洋牵起的，他们的成长都与丹洋有着非常大的关系，假期的提前补，课余时间的补，这个假期，我们的丹洋又将与哪些孩子创造奇迹呢？期待......

完

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编辑 | 张瑞

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