垂心训练题4-2012IMOSLG1改

最近已经在开始搞着点数论了，相信不久的将来我这“平面几何”的日常就能为自己正名了。。

今天给大家带来的是一道垂心的训练题，回归到一个基础的构型问题；

题目标签:边等类-共圆-2010IMOSLG1改编

知识储备:垂心的性质

先放题目:

的垂足三角形为，与外接圆 交于点(如图)，与分别交于点,分别与交于，求证：共圆;

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现在剖析一下该题:

其实这个题目是我生硬的糅合起来的...熟悉垂心的性质的话应该会知道这个结论,那么我们就从这个小引理来开始吧!

引理1:直线与外接圆交于两点,则

这里有很多方法可以证明,我来说个复杂且贴合垂心性质的证明:

欲证明,则只需证;

(消去了PQ)

那么找一条垂直EF的直线:

取中点

则分别为的圆心,

故

由垂心的性质得是的中位线,

故

故证毕!

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回到原题,试着倒倒角发现一些结论,

(的地位是完全对称的,因此找一个就是找四个)

然而注意到:

而结合共圆有

故四点共圆!

得到

故

那么到这里模型浮出水面,就是要证的共圆的圆心,那么剩下的证明又是由于结构如此的对称,不再赘述,那么这个题就做完了~~~

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简评:

如果万一有人看到这个题目解答如此复杂,肯定会吐槽说明明一道简单的题目搞成这个样子,其实我也不想的,但是如果有极简单的证明,也可以跟我说啊~

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