根轴训练题9-2017拉丁美洲改编
同学们同学们,今天此题让人热血奔腾~一开始是打算放到三角法的第一题的,后来又又又被根轴截胡了,本题来自2017年拉丁美洲的推广,且听我娓娓道来~
供题者:天然奆佬
题目标签:平分类-相交两圆+切线-三角or根轴-2017拉丁美洲推广
需要知识储备:无(导角足够)
先放题目(原题太弱,请做改编):
设是锐角三角形,为其外接圆,为线段上不同于的点,为中点,过D做垂直于AB的直线, 交于,交于,其中在之间,满足.直线与交于点,证明:直线与圆相切;
原本题目中是有垂直这个条件的,后来刘天然发现没有垂直,结论照样成立,故我们就删去了垂直~
于是题目变成了:
(改编)与交于两点,过分别做两圆切线,直线与交于点,过点做任意直线与两圆分别交于(如图),延长分别与交于点,求证平分(误，改为PC).
现在给出两种证法,分别由何姐和张文瀚给出;
证法一(何姐提供)
其实本题不难想到利用三角
看图只需证明即可;
等价于证明
而注意到:
故
故等价于证明
再次注意到
延长与交于,则,
(这里用到了平行~)
故带入原式证毕~
证法二(张文瀚提供)
根轴大法好
观察点圆与,发现
故为点圆与的根轴;
注意到:
(这里也用到了平行~)
故为的切线;
结合在两圆根轴上
故证毕!
简评:
哎~又莫名成了一道根轴的练习题,其实既然已经做到了根轴,那么改编前的原题,认真观察的话根轴也可以秒掉~
最后简单介绍一下两位提供解法的大神,证法一提供者何姐的生平履历不用过多的赘述,这里只是单纯的感觉在应考时,如果想不到根轴这么巧妙的方法,还是要想办法做出来的,那么简单的三角运算的直觉就要靠多多练习,不要沉迷于巧妙解法不能自拔；
证法二提供者张文瀚我们也是通过做公众号认识的，也曾是河北省的佼佼者，现在北京兼职竞赛教学工作，目前主攻竞赛初高中衔接；
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