根轴训练题8-2017捷克-波兰-斯洛伐克联合数学竞赛

CMO即将落下帷幕，公众号更新可能就可以恢复到正常速度了，哎反正是深刻的理解了一个道理，人生苦就苦在，很多事虽然大家都知道，但是不能说出来，有些话虽然是极致的真理，却也不能说出来；

（这里是暗讽仍坚持从高一弄数竞）

心情不在多说了，本题是巨佬ltr给我的，见到我之后，很难过以“根轴”的身份与大家相识。。。题目不难，可以试着做做都~

题目标签：共线类-相似+平行-2017捷克-波兰-斯洛伐克联合数学竞赛

需要知识储备：根轴

先放题目：

中作，与交于， 与外接圆交于，位置如图；与交于两点， 证明：三点共线；

现在剖析一下该题(法一):

首先本题让证明三点共线,而是两圆的的根轴,故只需说明在根轴上即可;

那么思路就转化为证明到两圆的幂相等即可,那么自然而然的生成两个点如图:

下面只需证明:

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• 利用共圆条件:

得到两个蝴蝶形相似

则得到

同理得

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• 利用平行条件得

结合以上三式得

故证毕!

(法二):这其实就是直接把ltr的证法抄过来...

前面的命题转化部分完全一样,欲证

注意到根据相交两圆的平行,有

得到,

带入并整理得到只需证明:

注意到共圆条件得到

带入则只需证明:

而这根据平行条件是显然的;

简单的分析:

其实两种方法本质是相同的:通过共圆转化命题,然后通过平行得到一组比例证毕,况且本题也并不难;

但是有一说一,总感觉相似得到的东西比利用圆幂更好接受一点,哈哈,无情的自我褒奖~

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