中点训练题1-俄罗斯2015年10年级
qq群 @刀木日 提醒本题为俄罗斯2015年十年级第7题，感谢
经核实题目链接为
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1126020p5204821
以下为原文
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（又是一个重头戏）
从本题开始开启三角形中点系列训练，旨在练习与掌握在解题过程中三角形中点起到很重作用的一系列题目，希望能给练习的同学带来点有用的思考；
这道题目难度适中，是我在逛论坛的时候偶然看到的，如果有知道题源的欢迎留言；
题目标签：共圆类-中点+对称-网题
需要知识储备：无(均为常见手段)；
题目如下：
（练习留白）
（练习留白）
(
现在剖析一下该题：
首先要想办法用上垂直，熟悉中点类题目辅助线手段的同学(倍长中线)应该不难想到辅助线：
过E、F分别做AC、AB的平行线
得到M、E、G、F共圆且MG为直径；
要证明M、K、E、F共圆
只需证GK垂直BC即可；
注意到M是△AEF的垂心，
∴∠MEF=∠MFA
结合BM=CM，得到
△BEM与△CFM的外接圆是等圆
再结合BM=CM得到MN⊥BC，
即BN和CN为两圆直径；
⇒∠BEN=90°=∠CFN
⇒E、N、F、M为平行四边形
⇒EF中点L在MN上；
D、K关于点M对称，A、G关于点L对称；
在结合AD∥LM
⇒GK∥AD∥LM
故证毕！
(
其实中点很常见的辅助线就是倍长中线，例如20年联赛几何题目就是这样的，没思路就倍长，不过本题稍微有点不一样，在处理中点+等角的问题上构造等圆及其优秀，不妨是一个良好的尝试，自己第一次想到这么造圆的时候简直被自己惊艳到了；
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适合准备高联的同学们；
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