垂心训练题2-IMO2013/4

这是2013年IMO第二天的第一题，最开始是从even chen的几何书上看到的，本题主要训练的技巧是垂心组的共圆性质

(众所周知,垂心组有6组共圆)

题目标签：共线类-垂心+Miquel点-IMO2013/4    

需要的知识储备：垂心，三角形的Miquel点

先放题目:

现在剖析一下该题：

拿到本题后发现W的任意性与MN的固定形成对比，而ANHM的共圆是垂心很基本的性质，自然联系到三角形的密克点，那第三个圆就应运而生；

根据三角形的Miquel点

⇒(AMN)、(BWN)、(CWM)交于同一点P

结合垂足性质得到A、N、H、P、M五点共圆；

若命题成立，则∠XPW=∠YPW=90°，

也就是P也在XY上，

那么就有∠HPW=∠HPA=90°，

也就是APW也必须要共线，证明思路成型

证明焦点集中在APW共线上；

而PW又是两圆根轴，故思路出现

由于B、N、M、C四点共圆

⇒AN·AB=AM·AC

⇒A在(BWN)与(CWM)的根轴上；

⇒A、P、W三点共线

(AMN)中∠APH=90°

(BWN)中∠WPX=90°

(CWM)中∠WPY=90°

⇒X、H、Y均在过点P且垂直于AW的直线上；

故证毕！

简评：

本题对与熟悉垂心的共圆性质有帮助；用到了两类代表性共圆，而共圆的性质也是解决本题的关键所在，第一个解决了垂直的问题，第二个解决了A在根轴上的问题；

但是本题对三角形的密克点的知识是有需求的，不知道三角形密克点的同学可以自行百度，百度啥都有。

aops原题链接：

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1181533p5720174

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