内心训练题2-越南TST-2003/2

因为昨日准备动身前往长沙，一直没时间静下心来弄点题目，被乌江大师指出严重划水，内心愧疚不已，晚上夜深人静了，学生也安顿好，会晤了痞爷，内心些许有些激动。待平复下心情，与大家分享一道越南的TST训练题目，关于内心与旁心，难度是有一些的，不过也是一道堆砌结论的小练习；

题目标签：共点类-高中点+内心+旁心+Ceva-越南TST2003/2

需要的知识储备：内心+旁心+位似+Cevian Nest

先放题目：

现在剖析一下该题，

首先对后面可能要用到的引理进行说明，至于为什么会想到这个引理，后面分析的时候会跟大家说的；

引理如下：

这是Ceva之后一个常规的训练题目，也是著名的Cevian Nest，估计有一部分人接触这个定理是因为炸神 @张峻铭 在知乎的一篇《从几何变换的角度证明Schiffler点的一个基本性质》(我猜的)，那不管你会不会，我把Ceva的证法放在这里：

回到原题，高线中点这个性质要进行一个转化，否则很难跟内切圆切点联系到一起，这里有一个比较熟悉的结构，是高线中点+内切圆切点+旁心的共线结构，怕有不知道的同学，这里作为引理2给出：

这个的证明是相当简单的，因为内切圆与旁切圆关于点A位似，因此D和Y为位似对应点，故ADY共线，也就得到了AHD与YXD关于点D的位似对应关系，也就得到了引理2的证明；

再次回到原题，根据引理2，我们就把很难看的高线中点，转化为了稍微能接受的旁心，那么顺势将另外两个旁心做出，命题得到转化：

这时请认真观察，你就知道为什么要引理1了，其实这个时候就不用问为什么会想到引理1，而是做到这里也没有办法，只能用引理1了。。。哈哈。。

下面只要说明这个结构是符合Cevian Nest的条件很自然的证完了：

这是因为①AD，BE，CF三线共点是很容易证的，一个Ceva就秒了，顺便一提，AD，BE，CF共的点叫三角形的Gergonne点；

②ABC也是旁心三角形的垂足三角形，也就是I为旁心三角形的垂心；

故符合引理1的结构，

此题证毕！

其实本题多次用到了Ceva定理，确实用内心一个高线中点的结构进行转化，如果对这些结构熟悉的同学本题又是一道堆砌结论的题目嘿嘿；

aops原题链接：

https://artofproblemsolving.com/community/c6h42412p268390

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