内心训练题4-2019日本MO/P4

最近感触颇多，突然间得到了很多同行的支持和认可，内心惭愧，不甚感激，只能用尽可能高质量的更新来表达感激之情；

今天给大家带来的是一道2019年日本MO的第四题，是一道很好的能把内心和内切圆性质以及极点极线的知识联合起来的题目，废话不多说了，咱们题上见；

题目标签:圆切类-中点+内心-调和

需要知识储备:配极+调和+内切圆性质

先放题目:

(2019年日本)：内心为，边上的中点为，过垂直于的直线与过垂直于的直线交于;证明：以为直径的圆与圆内切；

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剖析:

本题有两个难点:

• 内切怎么证明?

• 点K的构造奇奇怪怪;

讲道理证明两圆内切的方法有限,能想到的就是要么从圆心距与半径的关系入手,要么就找到公切线,显然前一种方案难度太大了,剩下就是看看能不能找到公切线了;

对于点来说,直接想肯定不好想,因此本题从公切线入手,寻找公切线;因此便得到了引理1,不想被破坏思路的,可以继续回去找公切线去了..

引理:内切圆圆与切于，为中点，作对径点，与圆、分别交于、，则为旁切圆切点且与圆相切；

引理的证明:(会的可以直接跳过)

一方面:

过作圆切线，与、交于、；

则与位似，位似中心为，

故为相似对应点，故为旁切圆切点；

另一方面:

另外注意到

且关于对称，

故在中，，

故也为圆切线；

引理证毕!

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回到原题

由引理得与圆相切

大胆猜测即为公切线,

那么

即三点必然共线;

现在只需要证明:即可

但是极点极线都提示的这么明显了;

延长交于,

只需证明的极线为即可

一方面,在的极线上,

那么只需证明在的极线上即可,

也就是证明为调和点列

注意到:平分,

则为调和线束,故证毕!

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