如果数学是一场游戏，该怎么让孩子开心玩到底？ （内附5个创意小游戏）| 日课

今日叙事

1985年6月12日，中国著名数学家、教育家、中科院院士华罗庚逝世。

从高中因学费不支辍学，到花5年时间自学高中和大学低年级数学课程，再到发表论文轰动国内数学界，并最终蜚声国际数学界，除了数学天赋，华罗庚的成功离不开对数学的强烈兴趣以及钻研精神。

其实，没有哪个孩子会先天的讨厌数学，可为什么学着学着，在很多人眼里数学就成了麻烦、痛苦甚至噩梦的代名词？我们对数学的兴趣，是怎么慢慢消失的？

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如果数学是一场游戏，

该怎么让孩子开心玩到底？

（内附5个创意好玩的小游戏）

文 / 小新君

在给小学生（尤其低年级）做调查问卷时，数学的受欢迎程度往往和体育、科学不相上下。但如果把对象换成初中生、高中生，数学受欢迎的比例就会大幅降低。为什么？

除了国内持续多年的刷题模式的负面影响。其实，更重要的原因在于随着年龄的增长，抽象的数学概念越来越多，需要学生由形象思维向抽象思维过渡。这一部分基础如果不够扎实，就会为后面的学习埋下隐患。有些孩子小学时数学成绩不错，可一进初中就开始莫名吃力，和其他同学差距越拉越大，原因多半在此，而不是老师、家长常挂在嘴边的“不够努力、懒惰”。

如何从形象思维顺利转到抽象思维

不久前新校长传媒转载了一篇《我们数学课的问题在于，课堂上根本没有数学》，引起读者朋友热议，文章中所陈述部分现象的背后原因也是如此。

对于那篇文章的观点，有赞成、有反对，但无一例外的，大家都认同培养兴趣、锻炼数学思维的重要性。

那么，如何从形象思维顺利转到抽象思维呢？不妨看看近年来在TIMSS 和PISA两个著名的国际学生学业水平评估项目中表现上佳，颇受其他国家好评的新加坡。

上世纪80年代，新加坡开始借鉴美国教育家杰罗姆·布鲁纳的相关理论，开发出数学教学的三步法：实物——图画——抽象，从而开启了从识记型教育向深层次理解型教育的大转型。

第一步，实物：小学阶段每堂数学课都是从积木、骰子、纸牌、硬币等实物开始（国内目前的情况与之类似）。

第二步，图画：这里的图画更像一种简易数学建模，学生画出一段长条表示一定数量，再按比例画出对比的数量，大或小、大多少、小多少都很直观。

减法条状图模型

乘法条状图模型

不难发现，条状图建模和中国小学段的线段图功能相似，只是新加坡几乎贯穿于基础知识的学习过程，且更侧重数学建模习惯的培养，而不是局限于某个知识点范围。数学建模能让学生更直观地理解抽象的概念，看上去或许比国内直接背诵运算准则、乘法口诀等得出结果慢了一拍，但这对于中低年级学生通过具象方式更好地掌握数学概念非常有效。

此外，数学建模方面的知识积累，在将知识运用到生活中时，会进一步拓展理解的深度，巩固知识，形成良好循环。比如，单纯的三角函数图形转变内容太艰涩，但如果结合某座城市的气温变化状况，尝试用三角函数建模的话，就能把抽象的数学和熟悉的生活环境、场景结合起来，既有助于生动地掌握知识，也能让学生直观感受到数学作为一门科学在实际生活中原来真的可以发挥作用。

当然，国内的数学并非完全忽略了形象思维到抽象思维的过渡环节，水池进水排水、公路两边栽树、追击问题、火车过山洞等类型问题，同样是在营造一种“类生活”场景，只是比较浅表，在实质上没有深入地关联、结合生活，因此也越来越为人诟病“到底学来干嘛”。

勾股定理演示

用两颗图钉、棉线、铅笔画出标准椭圆的方法

用三颗图钉、棉线、铅笔画出一个标准“鸡蛋”的方法

新加坡数学教育的第三步，是抽象的演算，也就是我们常说的“练题”。遗憾的是，由于缺少第二步的支撑，国内常见的情况是，学生直接从抽象甚至埋着陷阱的习题入手，在不断试错中积累正确知识。

这种模式的不利之处在于，哪怕当时在知识层面掌握了，考完试也会很快遗忘。简单举例，每年高考中考刚结束，部分数学试题在网上传开后，紧跟着的必会有大量类似“想当年也是学霸一枚，如今连中考题都不知道从何下笔，惭愧惭愧”的网络留言……

比较而言，新加坡“注重对数学概念的深层次理解，以达到立足于理解之上的掌握，乃至精通”的数学教育理念，当然更能收获实效。

一玩就上瘾的数学小游戏

让孩子瞬间找回数学兴趣

数学是有趣的，古有2600多年前人类最早的数学家之一毕达哥拉斯，他认为数字是世界的真理，对它们有一种神性的崇拜，比如1是世界的开始，6是完满数（6既能被1、2、3整除，正好也是三数之和）。今有德国数学家大卫·希尔伯特在1900年提出的23个数学问题，其中的未解之题至今仍有不同国家不同时代的数学家们孜孜不倦地证明着。

数学家们沉迷其中，除了数学本身的魅力，他们自身也有强烈的兴趣。当然，数学乐趣并不需要门槛，比如下面这些一看就会立刻着迷的小游戏。

1. 神奇预言魔术

魔术中有一类预言魔术，魔术师总能提前预测到接下来会发生的事，非常神奇。今天，小新君就分享一个和数学有关的预言魔术。在这个魔术中，观众的行为完全自由，但魔术师却能在观众发出行为之前就预测到结果，非常神奇。

魔术的准备工作很简单，一份月历即可，下面就以6月为例。

翻开月历，让观众随意选择一块4×4的区域（横竖必须有4天的时间区域），待观众选定后（如上图中红色框线区域），魔术师就可以立马写下预言：52（稍后解释52的来历）。

接下来，在所选区域中让观众任意选择其中一个数字。一旦选定，魔术师就划掉该数字横排、竖排在区域内的其他数字，如下图：

如果观众选择16，就划掉横排的15、17、18，以及竖排的2、9、23

重复上一步操作，直到区域内除观众选定的数之外，再无额外的数字，如下图：

如果观众分别选择了16、25、10、1四个数字（此处为示例，数字可随意选择）

在这个时候，魔术师让可以让其他任何人帮忙拿出事先准备好的预言，放在桌面上，保证旁人都没法偷偷做手脚。同时，向观众强调“请记住，时间区域是你选择的，其中的每个数字、包括先后顺序都是你自己选择的，我没有半点引导或者强迫你的选择哟”。

然后，请观众将日历上剩下的数字加起来，得出结果后，打开预言，正好就是预言上的结果“52”。

魔术解谜

这个魔术师小新君第一次是在瑞典著名魔术大师Lennart Green的讲座中看到，原理巧妙地运用了等差数列的知识。

示例中魔术师的预言“52”，在观众选定时间区域那一刻就决定了，因为无论怎么指定数字，观众选择的数字都不可能在同一横排或竖排上。因为每横的排数字都比上一排对应位置的数字多7。无论观众怎么选，所选数字之和都等于对角线上的4个数字1、9、17、25或4、10、16、22的和。比如上例中，观众所选1＋16＋10＋25＝1＋（9＋7）＋（17－7）＋25＝52。

由于每条对角线也是等差数列，因此还可以进一步简化为计算区域内四个角落上的数字之和1＋4＋22＋25＝52。

这个预言魔术效果令人惊奇，背后的原理也简单有趣，如果在课堂上进行，一定能让孩子们兴致勃勃。

2. 特殊两位数乘法的速算

如果两个两位数的十位相同，个位数相加为10的话，那么下面这个方法可以让你绕过乘法口诀，立马说出两个数的乘积。

假设这两个数分别为ab和ac，那么它们的乘积的前两位就是 a 和a＋1 的乘积，后两位就是b和c的乘积。

比如，47和43的十位数相同，个位数之和为 10，它们乘积的前两位就是 4×(4＋1)＝20，后两位就是 7×3＝21。也就是说，47×43＝2021。

类似地，61×69＝4209，86×84＝7224，35×35＝1225……

这个速算方法的原理是：(10 x＋y) ［10 x＋(10 - y)］＝100 x (x＋1)＋y (10 - y)，对任意 x 和 y 都成立。

3. 切蛋糕游戏

这也是一个有趣的经典数学题目。

过生日的时候，一个小朋友收到了一块立方体的大蛋糕。接下来，他打算将这块大蛋糕切成27块小立方体蛋糕，分给来参加生日派对的每一个人。通常，要切6刀（从上到下2刀、从左到右两刀，水平的横截面2刀）才行，如下图。

日常生活中，切东西人们常常先切1刀，把切开的部分适当叠合，再切第2刀，这样可以减少切的次数。那么，对于上面这道切蛋糕的问题，能不能通过某种叠合，只用5刀，或更少的次数切出来呢？

在课堂活动上，老师不妨给孩子们一些时间思考，甚至条件允许的情况下可以让他们用道具进行实际操作。

不过，上面这道问题，用5刀或更少的次数是没法实现的。

为什么呢？日本数学家矢野健太郎用了一个很巧妙地思考方式解开此题：在大立方体蛋糕的最中心，最终会切出一个小立方体。这个小立方体和其他26块小立方体不同，它的每一面都不是“现成的”，必须用刀切才能产生，因此，切大蛋糕至少也需要6刀。

也许孩子们在课堂上切来切去都没法实现，甚至有些沮丧，但当老师最后将这个奇特的解题方式公布出来，除了对立方体这类初等几何知识的了解，面对问题时的思维方式，恐怕会是一种更大的收获。

4. 你能画出多少个三角形？

如果“切蛋糕游戏”在教具准备上不太方便，也有一个类似的游戏可以参考：

通过画7条直线，最多可以产生多少个不重叠的三角形？

老师可以先做个示例（见下图）：

比如，老师在示例中用7条直线画出了5个不重叠三角形

画出示例后，老师可以鼓励孩子们进行自由创作。这个游戏原本的答案是11个（见下图）。

但不必拘泥于标准答案，只要能激发孩子们的兴趣，在游戏过程中锻炼其发散思维、初步的几何能力即可。

此外，这个游戏还可以进行类似“如果允许重叠，又会多出多少个三角形”的延展。

5. 一句话能问到正确的路吗？

有一座城市，城的路盘根错节，陌生人来到城里，一旦迷路就会被困住。正确的路只有一条，市民张三和李四知道这条路的路口在城东或城西。不过，他们两人中一个人说真话，另一个说假话。谁真谁假，旁人不得而知。

有陌生人来到这座城市，向张三、李四问路。如果只能问一句话，而两人的回答又只能用“东”或“西”之一来回答。那么，应该问什么，才能问出正确的路？

问题看似很难，但依然有解决办法。尽管只能问一句话，但提问者可以稍微将问题进行设置，并且利用指路者之间的矛盾（一真一假）。

比如，陌生人可以这样问其中一人：当我问‘正确的路口是在城东吗’时，另一位指路者将作何回答？

正确路口的真实位置	指路者说真话、假话的情况	陌生人听到的回答
东	张三真    李四假	西
东	张三假    李四真	西
西	张三真    李四假	东
西	张三假    李四真	东

不难判断，这个问题问出后，答案总是与事实相悖。如果得到的回答是“西”，则路口在东；得到的回答是“东”，则路口在西。背后原理，上表给出了解释。

这个游戏，锻炼的正是数学学习中不可缺少的逻辑思维能力。条件许可的话，完全可以让学生用一幕小短剧来再现题目中的场景，更加生动地理解。

相信通过上面这5个小游戏，已经改变了很多人心里数学刻板、枯燥的印象。如果还意犹未尽的话，小新君最后还为大家准备了一个小游戏。

数学中有一种模型叫做“幻方”，其中三阶幻方就是我们中国人所熟知的九宫格。

处于幻方中的数字1到9均不重合，且横竖斜的和都相等（等于15）

问题来了，在不上网搜索答案和解题技巧的前提下，填出以下的四阶、五阶幻方（任意一种解法即可），你需要多长时间？

四阶幻方

在上述方格中依次填入1到16（不重复），保持横排、竖排、对角线的4个数字之和相等

五阶幻方

在上述方格中依次填入1到25（不重复），保持横排、竖排、对角线的5个数字之和相等

感兴趣的读者可以试试，答案明天公布。

“教育日课”

 征稿邮箱：[e-mail]

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责编 | 张磊

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