断点回归设计RDD的原理和实证指南, 年龄, 地理, 分数等断点应有尽有

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关于下方文字内容，作者：周宁哲, 武汉大学经济与管理学院，通信邮箱：[e-mail]

作者之前的文章：1.Top金融,经济与会计期刊中的文本分析, 一项长达2万字的综述性调查，2.前沿: 解决内生性问题的无工具变量推断法

Valentim, V., Ruipérez Núñez, A., & Dinas, E. (2021). Regression discontinuity designs: A hands-on guide for practice. Italian Political Science Review/Rivista Italiana Di Scienza Politica, 51(2), 250-268. doi:10.1017/ipo.2021.27

Regression discontinuity (RD) designs have become increasingly popular in political science, due to their ability to showcase causal effects under weak assumptions. This paper provides an intuition-based guide for the use of the RD in applied research. After an intuitive explanation of how the method works, we provide a checklist that can help researchers understand the main robustness checks they should run, and a quick introduction to software implementing the design. We also provide a list of classic designs and examples of their application in political science. We hope this article can constitute a stepping stone from which researchers interested in RD can jump to more advanced literature; and which makes researchers not interested in implementing RDs better consumers of research employing this design.

断点回归：一篇给初学者的实证指南

一 引言

假使我们想对一些政治家的特征展开研究，诸如其连任概率，未来财富，乃至预期寿命。一种可能的做法是，将可得的政治家样本按选举胜败设定为一个虚拟变量，同时控制上可能影响实证准确性的控制变量，如政治家募集捐款的能力、个人收入、种族、教育水平、性别、年龄等等。但仍有太多潜在的混杂因素我们难以观测并控制，譬如，领袖魅力(carisma)，而这将对结果的可信度造成影响。

从理论上讲，一种处理方法是，抽取政治家样本并随机令其中一半人“胜选”，另一半人“败选”，然后测量结果变量，这使得所有混杂变量的中心趋势在预期下收敛至一致，进而解决前述问题。但显然，现实中这是难以实现的。其他许多研究问题皆是如此，我们无法简单地对随机抽样对象随机施加暴力干预，而现象背后的真实的逻辑却值得关注。那么，该如何设计实验？

Lee(2001)使用不连续回归(regression discontinuity, RD)的思路估计“在任”对“连任”的影响。他将选举得票率作为一个配置变量(forcing variable)，以50%为阈值决定选举胜负，这也自然地将政治家划分为处理组（选举获胜）、对照组（选举落败）。尔后，我们可以比较某位政治家在第t度选举中的得票率（forcing variable）与第t+1度选举得票率(outcome variable)在阈值周遭的变动。这大概基于一种逻辑：非常接近选举成功的政治家和非常接近选举落败的政治家在结果变量上的差异可以归因于“选举胜利”本身，因此，阈值处的跳跃可被用于识别因果效应。

进入21世纪以来，类似的RD设计在社会科学领域越来越普遍。每当存在有一个固定的“门槛”（阈值）能够将划定处理组与对照组时，RD就会被考虑使用，其假设限制与准确度也已在数理上得到认可。

本文意图为希望了解并运用RD的研究者提供一个简单初步的实践指南，同时为刚接触者提供一份有用的阅读清单（或许主要集中于政治学领域）。

二 识别与估计

（一）识别

RD背后的理念是，在断点上，除了我们关心的处理效应外，没有其他因素会可能致使结果“跳跃”。前文例中，辩论水平、个人魅力等特征都可能影响政治家的选举结果，但它们均不会在断点处直接“跳升”。这意味着可以将几乎要胜选（但最终落选）的政治家作为恰好胜选（胜出但优势不大）政治家的反事实估计。

本文援引Dinas et al. (2015)数据进行具体说明。该文中，研究者关心小政党的议会代表权是否使他们在选举中取得成功的可能性增大。图1中，X轴代表配置变量(running variable)，它分割样本单位（即政党）为处理组和控制组。在此情况下，该变量表示每个政党在第t次选举中与门槛的距离。例如，若选举门槛是为50%，而某政党得票率是48%，那么该政党比门槛低2%，在配置变量中的值是即为-2。Y轴代表该党在第t+1次选举中的得票率。

（二）估计

1. 参数估计

理解识别策略后，问题就变成“如何估计这种影响”，意即估计配置变量收敛为零时函数的右极限与左极限之间的差异。通过以下方程，在不连续点上进行最小外推(minimally extrapolating)可测得这一差异：

2. 非参数估计：局部线性回归

解决配置变量和结果之间非线性问题的另一种方法是集中关注恰位于断点前后的样本，这意味着可以简单地忽略远离断点的观测值。回到前例，与其关注所有政党，不如只关注那些在第t次选举中得票率非常接近断点的政党，如低于或高于不超过一个百分点的样本。

这种估计策略将不依赖于多项式逼近非线性，而是通过关注非常接近断点的区域来消除非线性的可能。换言之，只要X和Y对应的函数足够平滑，线性近似预计在接近分界点的两边都会更加可信。当然，在局部线性回归中也可以加入多项式以更好拟合X和Y间关系。通常研究者会为更接近断点的观测值赋予更多的权重(Calonico et al., 2017; Fan, 2018)。

那么，如何选择所谓“局部”的具体宽度（即带宽bandwidth）？一般认为，最佳带宽的选择涉及到偏差与方差(bias-variance)的权衡。一方面，较小的带宽可以减少模型错误设置的风险；另一方面，这也意味着参数估计可依赖的观测值更少，从而增加方差(Cattaneo et al., 2020)。

带宽估计的不同方法存在于众多研究中(Imbens & Kalyanaraman, 2012; Calonico et al., 2020)，通常情况下，研究者将使用各种带宽来评估其估计值的稳健性。

（三）模糊断点

到目前为止，我们只考虑了一个给定的断点c决定性分配谁在处理组、谁在控制组。然而，依然以选举为例，一些未能达到选举门槛的政党仍然可能设法进入议会，这可能由众多因素导致，比如，该政党可能是一个联盟的一部分，而这个联盟获得了足以进入议会的投票份额。对这些特殊样本而言，高于或低于断点c对他们的真实的处理或控制状态不再有意义。

此情境下，跨越断点仅改变成为处理组的概率（高于断点的政党有更大概率进入议会），但不再决定它。此时，我们通过模糊断点(fuzzy RD)来处理这一问题，它结合了清晰断点(sharp RD)（即前文介绍的断点分析方法）和工具变量法(IV)的逻辑，这意味，我们将首先对处理状态进行预测：

（四）扩展导览

本节简单介绍两种更为特殊的情况：

首先，设想这样一种情况：在高于断点的样本与低于断点样本间存在明显差距，但由于临近断点处的样本观测值大量堆积，这种“跳跃”被模糊了。一个解决方案是放弃临近断点处的观察(Eggers et al., 2015)。为便于理解，可以想象在断点周围对称地开了一个洞，进而比较不落入洞中的样本变化。这种方法被称为甜甜圈断点(donut-RD)。当然，应用时的细节需要仔细考虑，详见Barreca et al.(2011)、Barreca et al. (2016)。

另外，如果我们感兴趣的是和间的斜率在断点前后的变化（而不是断点处的“跳跃”），则可以通过进行两次回归来实现这一目的。这通常被称为拐点回归(regression kink design)，详见Nielsen et al.(2010)、Card et al.(2017)。

三 实证指南

（一）基本步骤

1. 依距断点距离绘制条件分布

分析开始时，研究者通常需要绘制因变量局部平均数与运行变量的关系图，并在断点两侧分别画出拟合线。这种图像能使读者直观感觉到断点周围的不连续性，初步检查因变量和配置变量间关系在断点两侧的函数形式，甚至能够初步识别潜在异常值(Lee & Lemieux, 2010)。

Calonico et al.(2015)开发出rdrobust软件包，可以轻松绘制上述图像。

2. 关注非参数模型

最近，断点回归参数模型受到学界批评，认为其对距断点较远处观测赋予了太大权重，可能使估计结果产生较大噪声(Gelman & Imbens, 2019)。因此，本文建议研究者多使用非参数模型。

3. 使用不同带宽验证结果

本文建议研究者报告结果时，考虑非参数模型在不同带宽下的估计值，带宽的选择可集中在最有贷款附近（如0.5倍—2倍间）。理想情况下，无论带宽大小具体为何，估计系数值都会保持不变（当然，可能有统计精度上的损失）。

4. 操纵检验

断点设计的一个关键问题是可能存在的操纵(manipulation)行为，这可能由自选择导致。比如，对于一位市长，如果该城市人口达到或超过5000人，市长的收益会更高。若此时实际人口为4980人，就可能有动机略微误报，使人口达到5000。显然，在此情境下，不能再假设在断点处发生“跳跃”的唯一影响因素是处理效应（比如，较为腐败的市长有更大可能“操纵”结果，那么腐败倾向将会混淆对处理效应的识别）。

对此，McCrary(2008)提出了初步检验，其基本思想是，配置变量的密度在断点附近不应该有明显的不连续性。换句话说，断点上下的样本数量不应有明显变动。本文建议使用Cattaneo et al.(2018)开发的一种以核函数为基础的检验方法，进一步介绍见后文“软件工具”板块。

5. 安慰剂检验——协变量连续性

如前所述，断点回归设计建立在连续性假设的基础上，这意味着除了配置变量外，其他协变量不应该在断点附近出现不连续。在实践中，研究者应使用安慰剂检验证明（至少）重要观察变量不会出现不连续。

常被关注的变量包括滞后的因变量、地理单位、时间单位等；若分析在个人层面进行，还应考虑经典的社会人口学变量，如年龄、性别、收入等。

6. 安慰剂检验——更换断点

最后一项（必要的）检验是使用实际断点外的分界重复实验，本文建议进行多次安慰剂检验，以增强结果可信度。检验使用的“新断点”可以通过在真是断点两侧人为选择来实现(De-Magalhães et al., 2020)；也可以使用配置变量的中值进行安慰剂分析(Imbens & Lemieux, 2008)。

7. 异质性分析

如果有理由认为治疗效果会因某一特定因素而不同，通常情况下，研究者会将处理效应与关心的指标进行交互。但在断点回归中，这种方法不一定能够奏效。

在断点回归研究中，Abadie(2005)提出依靠倾向得分加权来讨论异质性问题。Gerardino et al(2017)、Hsu & Shen(2019)、Carril et al.(2017）对此做出更细致讨论，他们还开发了rddsga软件包以进行分组分析(subgroup analysis)。

（二）软件工具

如果使用参数化断点回归，其实不需要特定的软件包来实现，因为其思路本质上就是OLS回归。

一如前述，本文建议多使用非参数断点回归，其操作可利用rdrobust软件包实现（适用于R和Stata）。rdrobust包依赖Calonico et al.(2014a)提出的稳健偏差校正置信区间(robust bias-corrected confidence intervals)实现断点回归。其主要命令为rdrobust，可输出常规(conventional)、偏差校正(bias-corrected)、稳健(robust)这三种结果；按Cattaneo et al.(2020)的建议，通常应报告常规估计值及从稳健置信区间。

此外，rdrobust能够自动计算最佳带宽，并提供了可供修改带宽的选项；设置有rdplot命令以绘制图表；设置rdensity命令估计断点附近样本单位的密度；其执行模式默认为清晰断点(sharp RD)，通过选项fuzzy可调节为模糊断点(fuzzy RD)。

（三）常用断点

本节简单介绍政治学领域的五种经典断点设计，以期为读者提供灵感启发。

1. 胜选

投票选举是最典型的政治行为，政治学中最常使用的断点之一便是选举结果带来的不连续。

这种设计的最初应用来自Lee(2001)（即引言中例），其估计了“在位优势”的影响。研究表明在第t期中以微弱优势赢得选举，与在t+1期赢得选举的概率较高有关，因果效应大至40-45个百分点。有关“在位优势”的研究持续存在，Trounstine(2011)研究在位优势在美国地方政治中的表现；Butler(2009)发现在位优势对非新人(non-freshmen)在职者的影响更为明显；Hainmueller & Kern(2008)发现其在混合制度（如德国的制度）中具有溢出效应；Uppal(2009)则利用印度立法选举的数据得出了相反结果。

另一种思路关注胜选对政治家行为的影响。Thompson(2020)研究了地方执法是否因执政党的不同而不同，其关注特朗普政府在各地方拘留未授权移民的效果，发现没有证据表明两党执行有异；Ruipérez-Núñez & Dinas(2020)关注公共记忆在后威权主义(post-authoritarian)西班牙的政治运用，研究表明，右派以微弱优势获胜的城市更有可能保留暗指Franco（右翼独裁者）的街道名称，而左派则更有可能将其删除；Huidobro & Falcó-Gimenez(2020)发现在西班牙以微弱优势赢得市政选举的女性或年轻政治家被任命为市长的可能性明显低于男性和年长者。

还有研究者籍此关注担任公职的回报。Eggers & Hainmueller(2009)研究表明，担任公职会对财富产生重大影响，在选举中险胜成为英国议员的保守党政治家财富几乎翻倍（对工党则不明显）；Barfort & Klemmensen(2017)利用战后美国州长竞选数据，研究担任公职的非货币收益——预期寿命增加约5年。

此外，不同政党胜选对政策的影响也得到了关注。Lee et al.(2004)发现没有证据表明对候选人的选举支持力度会影响其政策的缓和性(moderation)；Benedictis-Kessner & Warshaw(2016)发现，勉强当选的民主党市长将会增加该市支出；进一步，Benedictis-Kessner & Warshaw(2020)发现，狭义上的民主党立法者当选美国县政府，会增加5%的公共支出

2. 进入议会

世界上许多国家都有法定的选举门槛（断点），只有跨过门槛的政党才能获得议会代表权，研究者可以利用它来讨论一些感兴趣的话题。

Dinas et al.(2015)研究代议制对小党生存的影响，发现以微弱优势跨过选举门槛会增加特定政党在接下来的选举中的得票率约两个百分点；Dina & Foos(2017)使用类似设计研究了德国地方政治对国家层面成功的作用，分析表明，在州选举中以微弱优势跨过选举门槛会增加一个政党随后在国家层面的成功。

另一个研究方向是关注特定政党在议会中如何影响其余政党。Abou-Chadi & Krause(2018)研究激进右翼政党的议会代表对其余政党的政策立场的影响，发现这种代表权的取得使其余政党采取更多的反移民政策；Bischof & Wagner(2019)发现议会中存在一个激进右翼政党将使选民两极分化；Valentim(2021)研究表明激进右翼的议会代表将使激进右翼交流正常化(normalizes the expression)。Valentim & Dinas(2020)将这一逻辑进一步扩大化，他们发现没有证据表明政党制度的分崩会影响到民主的实现。

3. 人口

许多国家都有只适用于人口高于某一特定门槛地区的规则政策。这使得研究人员可以通过比较人口刚刚高于断点和恰低于断点的地区，以此研究政策规则的效应。

一种思路是关注不同选举和民主规则所形成的断点带来的影响。Fujiwara(2011)实证检验了杜瓦杰定律(Duverger's Law)，发现双票制将减少对位于优势地位的两个候选人的得票；Eggers(2015)测得PR选举权对投票率的影响——约为1-1.5个百分点；Pellicer & Wegner(2013)发现，庇护型政党(clientelistic parties)在PR中的表现比在plurality systems中更差；Campa(2011)研究了居民人口超过5000人的西班牙城市系统中的强制性别配额，该配额使当选的女性政治家比例增加了4-6个百分点；Hopkins(2011)发现，西班牙语选票提高了英语能力较差公民的投票率，并减少对取消双语教育的支持；Sanz（2019）发现西班牙部分地区的直接民主制大大减少当地开支与收入。

另一个视角是关注政治家工资和资源转移的影响。Gagliarducci & Nannicini(2013)发现在意大利，增加工资会使候选人倾向得到更多教育，并减少关税、税收、人事和其他支出。De-Benedetto & De Paola(2014)发现收入较高的政治家会得到更高的投票率；Brollo et al.(2013)研究收入对政治腐败，发现增加10%的转移支付会使腐败指标增加5-7个百分点。

使用这些思路的研究者应该注意两个陷阱：其一是操纵，即前文“操纵检验”所提；其二是同一个断点蕴含的多种政策产生的复合效应。其处理可参看Eggers et al.(2018)。

4. 年龄

民主国家的公民在达到法定年龄时获得投票资格，这使年龄略小者和刚刚达到年龄者间产生不连续性。

Meredith(2009)研究发现，过去资格(past eligibility)显著影响投票和党派认同的下游率(downstream probability)；Coppock & Green(2016)发现在第t期有资格投票的个体更有可能在t+1期投票；Schulte-Cloos(2019)使用类似的不连续性来确定首次有资格参与欧洲议会选举对随后的政治兴趣的影响；Dahlgaard（2018）将研究扩展到选民家庭的其他成员，发现子女是新获得选举权选民的家庭，投票可能性会增加近3个百分点。

5. 空间

空间不连续性也为断点设计提供了思路。

一个经典例证是冲突地区的战争线。Tur-Prats & Valencia Caicedo(2020)沿西班牙内战中的阿拉贡前线(Aragon front)设计断点范围，发现战争期间的政治暴力大大降低普遍信任(generalized trust)。Fontana et al.(2018)关注二战中的哥特防线(Gothic line)，发现受纳粹暴力统治的地区在战后更倾向于对意大利共产党投票。

另一种视角利用技术可及性限制界定断点。Gonzalez (2021)研究手机覆盖范围对选举欺诈的影响，发现覆盖率增加将会减少欺诈；Adena et al.(2020)使用二战期间美国轰炸机有效范围产生的不连续性分析发现，轰炸大大增加了抵抗活动。

人为界定的某些边界和行政区域也可以形成断点。Holbein et al.(2019)发现生活时区线东部（接近时区线）的个人的睡眠明显少于西部，同时，睡眠不足会减少亲社会行为；Ferwerda & Miller（2014）关注二战期间法国的维希线(Vichy line)发现在边界附近的城市，享有政治权力下放（自治）者表现出较低的抵抗水平。

四 结语

最后，希望本文可以作为研究者初次使用RD时的研究指南，以便了解该方法的优点于限制，并激发研究者产生新的灵感。

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