17世纪的天体图，由荷兰制图师Frederik de Wit（1629-1706）绘制The Language of Nature: Reassessing the Mathematization of Natural Philosophy in the Seventeenth Century作者：杰弗里·戈勒姆（Geoffrey Gorham，玛卡莱斯特学院哲学系），本杰明·希尔（Benjamin Hill，西安大略大学哲学系），爱德华·斯洛维克（Edward Slowik，威诺纳州立大学哲学系）来源：同名文集（明尼苏达大学出版社，2016）导论
在西方科学史上，没有什么事件比自然界的数学研究方法的崛起更具影响力了。它不仅在科学革命期间对科学发展产生了巨大影响，还引发了很多学者之间的讨论，试图厘清科学的历史和本质。近年来，有关这种“数学化”（mathematization）的论题回顾了自然界数学化惊人的发展速度。短短两百年的时间里，受亚里士多德启发诞生的、阐述数学与自然哲学（natural philosophy）关系的经院方法被推翻，这种方法在文艺复兴前半段占主导地位。尽管天文学一直被认为是一门数学科学，但在16世纪初，很少有人会想象把物理学（自然界中的运动和变化）都用数学来解释。然而到了17世纪末，这种全新的方法已经成为了主流。在这篇导论中，我们首先总结并探讨了科学革命时期自然界数学化过程中的一些主要概念问题。数学化主要强调科学概念和方法的转变，尤其是关于物质、空间和时间性质的概念和方法。这些转变通过引入数学（或几何）方法（techniques）和理念（ideas）来实现。紧接着，我们将分析数学化在科学革命史学研究中的突出地位，特别是在20世纪。数学化的理念具有古老的根源。现代史学强调柏拉图主义（Platonism）在17世纪数学化运动中的复兴。在《理想国》（The Republic）中，柏拉图残留着明显的毕达哥拉斯主义（Pythagoreanism）。他主张先验的天文学，因为天空中可见的运动与实际运动有所不同。实际的运动速度更快或更慢，可以体现在数字上，也遵循几何图形，并且彼此之间存在一定的关系。所以苏格拉底敦促道：“让我们像做几何学一样，通过问题研究天文学，把天空中的事物留给它们自己。”在《蒂迈欧篇》（Timaeus）中，柏拉图发展了一套复杂的几何宇宙学和物质理论，他认为造物主为了创造最好、最可理解的世界，会产生“比例的和谐”。在柏拉图之后，阿基米德在流体静力学（hydrostatics）和力学科学中的数学化为伽利略等人提供了一个范本。围绕数学化的价值及其限制的争议可以追溯到哲学的起源。在亚里士多德看来，毕达哥拉斯和柏拉图过度将数学的抽象领域与自然的具体领域混淆起来：“不应在所有情况下都要求数学的精度，只有在没有物质的事物中才需要。因此，数学的方法不是自然科学的方法。”因此，亚里士多德得出结论，研究自然的学生不应简单地假设物质和运动会遵循数学原理。然而，在他自己的《物理学》（The Physics）中，他承认那些“数学中具有物理性质的分支，例如光学、声学和天文学”，认为这很重要。在方法论著作《后分析篇》（Posterior Analytics）中，亚里士多德指出，这些科学是几何（例如力学和光学）或算术（例如和声学）论证的客体，尽管它们的主体具有经验性：“经验科学家应该知道事实，而数学家应该知道原因。”亚里士多德假定，这些科学的定理必须“隶属于”相应的数学科学定理，因为他禁止跨学科论证。“混合科学”（mixed sciences）这个概念在16世纪哲学家们（包括伽利略）用几何方法研究车轮、滑轮和杠杆等问题时变得更有影响力。实际上，算术、几何、天文学和音乐这些科目已经被柏拉图在《理想国》（第七卷）中认为是特殊的数学领域，并与古典时期的四艺教育体系结合在一起。因此，在古典和中世纪时期，“数学是否能直接描述物理现象”的问题一直存在争议。到了17世纪，这场辩论主要集中在以下三个广泛的概念范畴——工具主义（instrumentalism）与现实主义（realism）、数学化的类型（types of mathematization）和社会背景（social context）。对数学化持怀疑态度的两个重要来源可以追溯到前面提到的亚里士多德的两个观点，一个是形而上学观点，一个是方法论观点。首先，有人认为物质无法顺应数学的精确性；其次，数学论证的演绎结构无法捕捉自然物之间的因果关系。因此，在光学、力学和天文学等古典“混合科学”之外，数学在理解自然方面的作用受到了极大的限制。基于这些顾虑，工具主义传统应运而生，面对“数学对象及其关系是否对应着自然对象及其关系"的问题，工具主义给出了否定的回答。工具主义认为物理理论中的数学成分——例如托勒密天文学中的“均轮-本轮系统”（deferent and epicycle）仅是用于预测现象的计算工具。这种观点在现代初期依然具有影响力。这一观点体现在奥西安德（Andreas Osiander）为哥白尼的《天体运行论》（De Revolutionibus，1543）撰写的序言中——他指出，由于天文学家“无法从任何角度了解真正的原因，因此他将采用任何能使运动从几何原理正确计算出来的假设……这些假设并不需要是真实的。”然而，在16世纪和17世纪期间，新的哥白尼天文学理论采用了数学结构，许多人开始接受这种数学结构，并产生了天体之间实际关系的知识。因此，开普勒和伽利略强调，天文学的目的是物理真理，而不仅仅是通过数学模型“拯救现象”。这种现实主义态度也被扩展到光学和力学的新兴数学化研究。除了成功地运用数学方法——比如西蒙·斯蒂文（Simon Stevin）的静力学研究和伽利略关于自由落体现象的描述，数学哲学与物理世界之间关系的主要推动力无疑是机械唯物论（mechanical philosophy）的兴起。人们提出，自然现象可以用机械模型来解释。换言之，我们可以通过机械模型来研究自然现象，这些模型的数学特征有助于我们更好地理解自然现象的数学规律。数学方法在解释自然现象上越来越成功，也越来越受到重视，再加上机械唯物论及其现实主义观念（存在一个相互作用的、物质粒子的隐藏世界，它们具有几何形状和体积），就进一步推动了数学与物理现实之间的现实主义观念。正如约翰·亨利（John Henru）所说：“科学革命见证了一种从工具主义态度到更加现实主义观点的迭代。”伽利略说出了著名的宣言：“自然之书以数学之语书写，三角、圆和其他几何图形是这种语言的字母。”他因此扭转了奥西安德的本意，而正是因为自然本身具有几何特征，数学物理学（mathematical physics）才是真理。伽利略在自然哲学研究中运用了一种数学方法——几何学，这也是古典和中世纪混合数学传统中自然哲学家们使用的方法。在17世纪初，几何学因此被认为是研究物理世界最重要的数学分支，尤其因为它跟以亚里士多德为基础的经院科学有类似的历史渊源。欧几里得的《几何原本》采用了一种综合或公理化的几何学方法，与亚里士多德/经院科学的演绎方式有很强的相似性。公理化几何学从基本的定义和概念出发，推导出各种定理和复杂数学结论；而亚里士多德/经院科学的解释方法以基本的形而上学假设（“第一原理”）为前提，然后在此基础上为各种现象提供具体的科学解释。例如，笛卡尔在1638年给梅森（Marin Mersenne）的一封信中宣称：“我的全部物理学只不过是几何学。”斯宾诺莎更是把几何学推广到形而上学和伦理学。牛顿的《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）则是这种用几何学解决物理学问题的最重要例子。17世纪将发展出一系列的数学工具，这些工具最终将改变对数学化的可接受标准。“斯涅尔-笛卡尔折射定律”（Snell-Descartes law of refraction）和惠更斯关于谐振子（harmonic oscillator）的研究包含着三角关系，它可以看作这一变化的开始，而微积分中用于处理超越曲线（transcendental curves）的微分分析则成为对旧式几何方法地位的最大挑战。分析技术在力学中的快速发展，并且越来越实用，使得人们有充分理由采用它，即使它和古典几何学相比显得不够直观或有问题。在整个17世纪，人们一直在争论几何学是否应该用新的代数方法来补充，最后在牛顿的流数（fluxions）微积分和莱布尼茨的分析之间形成了对立。从这个角度看，数学的几何特点曾推动了科学革命，但同时也限制了数学化的发展。有些人坚定支持几何学，他们认为几何论证更容易理解，而且几何学在空间、时间和物质方面非常适用。相比之下，支持新代数方法的人则认为它们更灵活、更强大，而且在表示连续量、不规则曲线、无穷大和无穷小、瞬时速度等方面更实用。这只是一个简单的例子，近年来，详细的历史研究使数学化的宏大叙事变得更加复杂且丰富。整体数学化的目标是在科学领域中广泛应用数学模型，特别是几何模型。在力学和自然哲学的其他领域中，数学与自然定律、碰撞规则以及其他物质现象之间的定量关系联系紧密，例如笛卡尔提出的运动量守恒法则（即大小和速度的乘积不变），这一法则开创性地揭示了物质现象之间的关系。将自然定律转化为数学公式后，它们具有与整个数学领域相同的必然性和确定性。但是，尽管在过去的几个世纪中，人们显然已经成功将各种自然哲学的假设数学化，但是将自然哲学方法本身数学化的努力从未完全实现。伽利略在他最后一部重要论著《关于两门新科学的对话》（Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze，1638）中提到了这一点。但是，费耶阿本德（Feyerabend）等人指出，这部著作依赖严密的论证、概率论证和修辞学。霍布斯将哲学方法建立在几何学之上，但承认在物理学中有必要采用假设方法。笛卡尔希望他的物理原理能获得数学的“绝对确定性”，但似乎它们只具有“道义上的确定性”。虽然笛卡尔的物理学旨在寻求数学上的确定性，但他的著作中很少涉及数学，即使他的自然定律在某种程度上与数学有关。斯宾诺莎在尝试将自然哲学数学化方面也表现出相似的特点，他使用几何学方法，但他的形而上学并没有完全接受数学化的思想。这说明了自然哲学与数学之间在应用中的分离，哪怕是在数学化的过程中也存在这种分离。此外，尽管确定性和论证得到了广泛的赞誉，但在证明和证据的标准上也存在相当大的差异。即使数学论证提供了确定性，许多批评者（尤其是亚里士多德学派的学者）否认它为自然过程提供了实质（即因果）知识。然而，培根及其追随者之所以不践行数学论证模型，原因略有不同。他们主张详细、直接的“实验”，主张系统性地收集事实或“自然历史”来研究自然。现代早期对“原子论”自然观念的复兴也促进了数学化的趋势。与经院哲学家通常所持的连续观相反，原子论将自然视为离散的事物，这使得不依赖几何连续性的数学方法更容易被自然哲学家接受。同样，机械的自然也有助于分析方法，因为正如一台机器可以被视为其各部分的总和，一个代数方程提出的问题也可以通过检验和“操作”它的组成部分来类似地解决。因此，在18世纪初，皮埃尔·伐里农（Pierre Varignon）将牛顿的力学改编成莱布尼茨的微积分符号代数，这种分析方法预示了自然数学化的未来。尽管如此，自然的数学化在许多方面都取得了进展，促使并刺激了力学和光学等领域之外的发展。例如，天文学受益于对数的引入，而费马和帕斯卡对赌博的研究奠定了概率论的基础，最终在科学领域产生深远的应用。最后，17世纪越来越重视实验和观察，引导人们日益依赖量化和测量。与经院哲学家实践的“定性科学方法”不同，科学革命标志着向现代科学所依赖的量化观念的过渡。在17世纪，数学内容的转变反映了与数学相关的社会实践和制度的变化。欧洲在许多领域（如商业、航海和技术等）的不断壮大，在很大程度上得益于数学的发展和应用。随着对数学精通的工程师和工匠需求的增加，他们在社会中的声望和权力也相应增加。随着他们在社会和政治上的影响力逐渐增强，数学在社会中的权威和价值也相应提高。这种变化在大学里尤为明显。科学革命开始时，数学家的地位比自然哲学家低。然而，到了17世纪末，许多数学家和工程师在学术界的地位得到提升。随着数学从业者获得地位，他们的知识主张获得了知识权威。与此同时，数学（以前被知识精英诋毁）通过与传统物理学和自然哲学日益密切的联系而赢得了更高的地位.伽利略是一位跨学科的数学家，他不仅在数学领域颇有成就，还被赋予了哲学家的头衔和地位。他获得这种崇高地位的原因之一是当时人们开始重视数学在各种社会项目中的作用，包括土木工程、航海和军事建设等领域。数学家和工程师在这些领域中发挥着重要作用，并取得了重大进展。同时，艺术家们也受到数学的启发，将数学思想融入到他们的艺术创作中。文艺复兴时期的艺术家（比如达·芬奇和丢勒）不仅在艺术领域有卓越成就，还是熟练的数学家和工程师。许多早期现代艺术家相信自然的本质是数学，他们作品的艺术内容和创作技巧与数学在其他领域中的发展相辅相成。科学革命和现代科学都受到数学化的指导——这种史学叙事存在了很久，也颇有争议。在《自然科学的形而上学基础》（Metaphysical Foundations of Natural Science，1786）的序言中，康德断言：“在任何具体的自然学说中，只有其中的数学部分才是真正的科学。”正是科学的数学结构（对康德来说，以牛顿力学为典范）使其基本定律成为必然且先验。数学化的标准也解释了“为什么化学和心理学对康德来说不是真正的科学”，前者因为法则仅是经验性的法则，后者因为数学无法应用于内在感觉的规律。因此，在康德对现代科学的重大重构中，数学化已经为某些科学提供了认识论权威，同时边缘化了其他科学。威廉·惠威尔（William Whewell）在《归纳科学哲学》（Philosophy of the Inductive Sciences，1840）中表现出更为矛盾的态度。他承认“数学在促进物理科学进步方面担任着如此重要的职责”，尤其是那些涉及空间、时间和运动的科学（天文学、光学和力学）。但惠威尔也强调“除了算术和几何，其他观念对于精确和真实知识的进步同样必要”，尤其是动力学和化学等科学中的因果、力量和物质。更批判地讲，在《欧洲科学危机与超验现象学》（The Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology，1936）中，胡塞尔声称，伽利略将几何学的方法和思想应用到了物理学的领域中，从而产生了新的观念和发现。从一个截然不同的角度，李约瑟（Joseph Needham）在其巨著《中国科学技术史》（Science and Civilization in China）的第三卷开篇指出：“既然数学和数学化假设一直是现代科学的支柱，那么在我们评估中国的贡献之前，这个主题似乎应该优先于其他所有主题。”几百年来，从多样的学术视角出发，人们普遍认为现代科学和数学之间存在着密不可分的联系，无论是好是坏。数学化的历史研究在20世纪早期得到了三位历史学家的大力支持，他们分别来自不同国家。这三位历史学家强调了数学化的重要意义，解决了中世纪自然哲学家长期以来困扰的问题，如行星轨道、自由落体、碰撞和光学现象。他们都认为现代数学化的开拓者（如开普勒和伽利略）深受古代先贤（尤其是柏拉图、阿里斯塔克斯和阿基米德）的影响。但是，他们对数学化的态度受到不同哲学和规范前提的影响。在《现代物理科学的形而上学基础》（The Metaphysical Foundations of Modern Physical Sciences，1924）中，美国哲学家伯特（E. A. Burt）关注数学化对“人在世界中的地位”的影响。他认为，伽利略贬低了人的主观性，而笛卡尔将心灵降低到大脑内的一个模糊、孤立的位置。对于伯特来说，数学化有助于对世界的祛魅，而这种祛魅是早期一些谨慎的新哲学支持者（如剑桥柏拉图主义者）害怕的东西。所以我们可以说，伯特专注于数学化的存在意义。亚历山大·柯瓦雷（Alexandre Koyré）无疑是对20世纪数学化论述最重要的历史学家。柯瓦雷将17世纪的数学化归因于柏拉图（及文艺复兴时期的柏拉图主义）的影响，尤其是在伽利略的例子中，他“主张柏拉图数学主义优于抽象经验主义”。他认为，伽利略的柏拉图主义尤其体现在他对科学中理念化（idealization）和近似值（approximation）的态度上。伽利略不仅是“思想实验”的高手，而且他实际进行的实验通常需要“数学认证”。在伽利略的《关于两门新科学的对话》中，亚里士多德派的辛普利修斯（Simplicius of Cilicia）讥讽地说：“数学的微妙之处在抽象事物中表现得很好，但当它们应用于可感知的、物理的事物时就行不通了。”柯瓦雷称，伽利略的意思其实是“几何图形可以以物质的形式存在”。和伯特一样，柯瓦雷认为数学化是人类对宇宙观念根本转变的关键。但与伯特不同的是，他更关心世界在宇宙中的地位，而不是人在世界中的地位。在《从封闭世界到无限宇宙》（From the Closed World to the Infinite Universe）中，现代科学（尤其是哥白尼、开普勒和伽利略）用纯粹的定量、开放和无限的宇宙取代了基督教化的、亚里士多德主义的定性、封闭和有限的宇宙。最后，戴克斯特豪斯（E. J. Dijksterhuis）1961年的《世界图景的机械化》（The Mechanization of the World Picture，最早于1950年荷兰出版）从某种程度上纠正了柯瓦雷已经具影响力的著作。比如，柯瓦雷认为，革命或“相对不连续性”是科学变革的典型特征，这一论点后来被托马斯·库恩（Thomas Kuhn）加强。戴克斯特豪斯认为，17世纪科学的革命性创新在于“数学化”，这一观点在他的著作中反复出现。这意味着，科学家们不再用文字来描述自然现象，而是使用数学公式来表达这些现象之间的关系。此外他指出，在现代科学中，基于数学表达方式的功能性思维方式不仅得到了保留，而且已经占据主导地位。戴克斯特豪斯将数学化与科学革命中另一个重要的创新——机械化紧密联系在一起。笛卡尔的纯粹“机械哲学”通过将自然过程与简单机械（如杠杆、滑轮和齿轮）类比来理解它们的运作。然而，这种类比无法解释在分析撞击和自由落体中越来越重要的“力”和“引力”。戴克斯特豪斯指出：“即使最熟练的技工也无法制造一种仅依靠物体之间的相互引力来运动的装置。”在戴克斯特豪斯的分析中，这些概念开始与纯粹的“功能”（即数学）产生关系，而不是传统类比中的机械相互作用。一旦数学化，力学就从直觉的形而上学限制中解放出来，比如瞬时速度等等，这些问题曾经困扰着早期的机械唯物论：“所谓的力学科学在17世纪已经从机器研究中解放出来，发展成为一个独立的数学物理学分支，解决物质物体的运动问题。”这说明，一旦力学被数学化，就能够摆脱过去的局限和限制，变得更加精确和清晰，能够更好地解释物理现象和物体运动。所以，迄今为止那些“混合”或“次要”的力学科学，在被牛顿及其追随者赋予严格的数学表述后，最终与古老的亚里士多德物理学本身相统一。因此，我们可以说戴克斯特豪斯关注数学化的机械方面。数学化论题因为过分强调物理学和天文学，而忽视了生物学、医学以及像培根和波义耳这样的重要自然哲学家，因此受到了批评。为了修正这个问题，学者们提出了一个关于早期现代科学的新模型，称为“两种传统”。在这个模型中，有影响力的学者托马斯·库恩认为，“古典”传统包括了人们所熟知的“混合科学”，并从14世纪开始涉及到局部运动的科学研究。这种数学的、理性主义的和抽象的传统被开普勒、伽利略和笛卡尔所实践。较新的“培根”传统包括化学、磁学和早期电学理论等科学，它是实验性的、经验主义的和具体的传统。鉴于这种方法论上的分歧，培根的方法对17世纪天文学和光学等科学的快速发展几乎没有影响：“对于一个受过教育以在自然界中寻找几何学的人来说，一些相对容易获得且主要是定性的观察足以证实理论。”两种传统史学观确认了数学在科学发展中的主导地位。这些观点强调了物理科学的传统，同时认为化学和生命科学的“事实收集”并不成熟。理查德·韦斯特法尔（Richard Westfall）的研究分为两个传统，一个是以数学为基础的毕达哥拉斯-柏拉图传统，另一个是关注自然现象背后机制的机械唯物论传统。虽然两者有共同的影响，但韦斯特法尔认为后者在某种程度上阻碍了对自然的全面数学化，而这一目标最终由牛顿实现。在最近的一篇文章中，韦斯特法尔断言：“自然的几何化可能是科学革命留给我们最独特的遗产。”他指出，自然的几何化首先出现在物理学中，但后来扩展到化学和分子生物学，以至于“今天要成为一名科学家，就必须理解和研究数学”。近年来，数学化论题受到各种批评和分析。从科学知识的社会学角度来看，学者们研究了数学声望日益提高带来的社会和学科影响。例如，伊夫·金格拉斯（Yves Gingras）记录了物理学数学化如何使新兴领域与公共讨论隔离开来，比如“理性力学”（“rational mechanics”）和磁学。数学化“使某些参与者无法合法参与自然哲学的讨论”，从而巩固了新科学的专业地位。史蒂文·谢平（Steven Shapin）认为，这种排他性是波义耳对过度数学化最关心的问题。波义耳在他的一篇关于水压的文章中承认了实验中算术的实用性以及几何证明的“优雅”。然而，他更希望文章能被更多的读者理解，而不仅仅是受到几何学家的赞誉。他认为，应该让主要的读者群体能够完全理解其中的意义，而不仅仅是追求证明的简短。尽管几何学具有一定的排他性，但在牛顿的《自然哲学的数学原理》之后，几何学仍然成为物理学的重要组成部分。在《自然哲学的数学原理》的《致读者的前言》中，牛顿使用数学精确性来划分“理性”力学与“实践”力学之间的区别。理性力学指的是，通过精确的比例和论证来表达不同力所产生的运动。有鉴于此，牛顿认为，理性力学基于数学的精确性，它与仅仅关注实际应用的力学区别开来。近年来，一些以哲学为导向的学者深入研究了数学化的标准史学叙事。哈特菲尔德（Gary Hatfield）对柯瓦雷提出质疑，他批判柯瓦雷把伽利略视作“柏拉图主义者”，认为伽利略的数学方法（与开普勒和笛卡尔的方法相比）并没有受到任何形而上学前提的指导。相反，伽利略将几何学应用于自然的做法是因为在各种理论背景和实验实践中取得了成功。达斯顿（Lorraine Daston）也对伯特提出了类似的批评，认为他过分关注形而上学，而忽视了社会和政治背景。因此，他没有解决“为什么数学化对许多人如此具有吸引力”的核心认识论问题。同样，索菲·鲁（Sophie Roux）最近也提出，数学化是指将数学应用于其他知识领域，尤其是那些原本不涉及数学的领域，但在17世纪，关于这种跨学科应用的意义、目标以及数学本身的性质方面还没有形成广泛的共识。哈特菲尔德和索菲·鲁暂时得出结论，认为数学化的宏大叙事需要通过对各种数学实践的详细研究来丰富。因此，为了更好地理解数学化的过程，我们需要深入探讨各种数学实践的发展和演变。【延伸阅读】