乔治·拉科夫，拉法尔·努涅斯：《数学来自哪里：具体思维如何使数学成为现实》（2000）
小汉斯·霍尔拜因（Hans Holbein der Jüngere，1497-1543）《出访英国宫廷的法国大使》（Die Gesandten，1533），伦敦国家美术馆藏。画面中摆放着数学书籍，里面还夹着一把象征几何的直角尺。
数学来自哪里：具体思维如何使数学成为现实
Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being
作者：乔治·拉科夫（George Lakoff，加州大学伯克利分校语言学系）、拉法尔·努涅斯（Rafael E. Núñez，加州大学圣迭戈分校认知科学系）
译者：陈荣钢
来源：同名著作（NY: Basic Books，2000）导论《为什么认知科学对数学很重要》
众所周知，人类发明数学、使用数学——数学家、物理学家、计算机科学家、经济学家乃至所有人类。这是显而易见的事实，并产生了重要的结果。数学由人脑和思维能力构造。我们能且只能基于大脑和思维学习数学。
随着认知科学、神经科学进一步认识人类大脑和思维，我们已经清楚知道，大脑并不是一个一般用途的工具。大脑和身体共同进化，以便大脑能够使身体发挥最佳功能。大部分大脑用于视觉、运动、空间理解、人际互动、协调、情感、语言和日常推理。人类的概念和人类的语言不是随机或任意的东西，它们高度结构化，并且受到限制，受限于大脑、身体和世界的结构。这一观察结果立即引发了两个问题：
1. 究竟人类的大脑和思维的什么机制使人类能够提出数学理念和进行数学推理？
2. 基于大脑和思维的数学是数学的全部吗？抑或像柏拉图主义者认为的那样，有一种非实体的数学超越一切身体和思维，并构造着宇宙（包括我们这个宇宙和所有宇宙）？
第一个问题问的是数学理念（ideas）从何而来，以及如何从认知的角度来分析数学理念。这个问题是一个科学问题，是一个需要由认知科学来回答的问题，是关于思维的跨学科科学。
这个问题是一个关乎人类思维和大脑的经验问题，它不能纯粹在数学范围内研究。作为一个经验科学的问题，它不能由先验哲学或数学本身来回答。它离不开对人类认知过程和人脑的理解。认知科学对数学很重要，因为只有认知科学才能回答这个问题。
第一个问题是本书的主要内容。我们将探讨正常人类认知机制如何被用于创造和理解数学理念。因之，我们将发展数学理念的分析技术。但是，第二个问题才是数学哲学的核心。这也是大多数人想要回答的问题。我们直接回答如下：
1. 人类证明的定理位于人类的数学概念系统内；
2. 我们拥有或能够拥有的所有数学知识都是人类数学中的知识；
3. 我们没有办法知道人类数学家证明的定理是否包含任何客观的、外在于人类（human beings）或其他存在者（beings）的真理。
上述论点的基本建立过程如下：
1. 在柏拉图式的数学中，存在（existence）的问题不能用科学的方法来解决。充其量，它只能是一个信仰（faith）问题，就像对上帝的信仰。也就是说，柏拉图式的数学犹如上帝，本身无法通过人类的身体、大脑和思维来感知或理解。单靠科学既不能证明也不能证伪柏拉图式数学的存在，就像不能证明或证伪上帝的存在一样。
2. 与上帝的概念化一样，对人类来说，不能脱离大脑和思维来理解数学。我们对数学的唯一概念化是人类的概念化。因此，我们所学、所教的数学只能是人类创造的、由人类概念化的数学。
3. “人类的数学是什么”，这是一个经验性的科学问题，而不是一个数学哲学或先验哲学的问题。
4. 因此，只有通过认知科学（对思维、大脑及其关系的跨学科研究），我们才能回答这个问题，才能回答“人类所知道或能够知道的唯一数学的性质是什么？”
5. 因此，如果你把数学的性质看作一个科学问题，那么数学就是人类利用大脑的认知机制所构思的数学。
6. 然而，你可以不把数学本身的性质看作一个科学问题，而看作一个哲学或宗教问题。那些声称存在外在的、柏拉图式的数学的人，那些声称在人类数学中证明的定理是客观真理的人，那些认为这些定理不依赖于任何人或概念系统的人，都必须肩负起科学证明的责任。但目前已知的方法都无法进行这样的科学证明。
这本书希望告诉你，通过人的大脑和思想来构思的人类数学是什么样子。鉴于我们已有和未来可预见的科学知识，数学就是人类的数学。人类的数学是什么概念，数学就是什么概念。我们希望，无论你对超验数学的存在有什么样的哲学或宗教信仰，你都会对这本书感兴趣。
在这个论点中，我们需要进一步阐明一个重要的部分。我们需要阐明，为什么会出现物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）所谓的“数学在自然科学（natural sciences）中不合理的有效性（unreasonable effectiveness）”？我们如何理解科学家们能够找到或形成准确描述物理世界许多方面的数学形式，甚至做出正确的预测？人们有时候认为，数学是一种科学工具，它作为“工具”的有效性表明，数学本身存在于物理宇宙的结构中。当然，这不是具有任何经验科学基础的科学论证。
我们将在本书第五部分详细讨论这个问题。简而言之，我们认为，无论数学和世界之间有什么“契合”（“fit”），这种契合都发生在科学家的思维之中。他们密切观察这个世界，精通“合适的”数学（或发明了数学），并利用他们人类的大脑和思维将它们契合在一起。
最后还有一个问题。人类的数学是否是超验的、柏拉图式的数学的一个实例（或者是一个近似的例子）。这一立场要成立，就要对柏拉图式的数学的存在怀有非科学的信仰。我们将论证该立场不成立。该论点基于我们在书中的分析——人类的数学在描述数学概念时根本上使用了概念隐喻（conceptual metaphor）。概念隐喻只限于有生命的思维。因此，人类的数学在很大程度上由概念隐喻构成，不可能是柏拉图式的数学的一部分，而柏拉图式的数学（哪怕它存在）将是显意（literal）的东西（而非隐喻）。
我们的结论如下：
1. 人类无法接触到超验的柏拉图式的数学，哪怕它存在。因此，对柏拉图式的数学的信仰是一个类似宗教信仰的问题。柏拉图式的数学存在与否，不可能被任何科学证据证明或证伪。
2. 因此，人类所知道或能够知道的唯一数学是基于思维的数学，是由人类的大脑和思维所限制和构造的东西。因此，对数学性质的唯一科学解释是通过认知科学对人类基于思维的数学的解释。数学理念分析（mathematical idea analysis）就提供了这样一种解释。
3. 数学理念分析表明，基于人类思维的数学把概念隐喻作为数学本身的一部分。
4. 因此，人类的数学不可能是超验的、柏拉图式的数学的一部分，哪怕这种数学存在。
当我们详细讨论了什么是“人类的数学”之后，这些论点会变得更加重要。我们看到，人类的数学取决于人类的身体、大脑和思维。关键在于上述论点之三——概念隐喻构造了人类概念化的数学。读者在阅读我们对数学中概念隐喻的讨论时，请谨记这一点。
思维性质的最新研究
近年来，认知科学有了革命性的进展，这些进展对我们理解数学有重要影响。在这些新见解中，最深刻的也许是以下几点：
1. 思维的具体化（embodiment）。我们身体、大脑和日常机能的具体性质构造了人类的概念（concepts）和人类的理性（reason）。这其中就包括数学的概念和数学的理性。
2. 认知的无意识。大多数思想都是无意识——不是弗洛伊德（Freud）意义上的压抑（repression），只是无法进行直接的、有意识的反省。我们不能直接观察我们的概念系统和我们的底层思想过程。这其中就包括大多数数学理念。
3. 隐喻思维。在大多数情况下，人类使用具体的术语将抽象的概念“概念化”，使用基于感觉—运动系统（sensory-motor system）的理念和推理模式。这种以具体事物来理解抽象事物的机制被称为概念隐喻。数学思维也使用了概念隐喻。
这本书试图将这些见解应用于数学理念的领域。换言之，我们把数学作为认知科学的一个主题，探讨数学如何被创造、被概念化，尤其是如何被隐喻地概念化。
认知科学拨云见雾，使广泛的数学理念分析成为可能。我们认为，上世纪60年代和70年代初的旧认知科学时代无法想象这一主题，因为那时是讨论非具体思维的时代。在那些日子里，思想被视为对纯粹抽象符号的操纵，所有概念都被看作显意的概念，一切概念都不受任何生物性和大脑的约束。
于是，思想被许多人认为是符号逻辑的一种形式。我们将在第六章探讨，符号逻辑本身是一项需要认知分析的数学事业。关于旧认知科学和新认知科学之间的区别，请参见《肉身的哲学》（Philosophy in the Flesh，1999）和《重新认识“认知”》（Reclaiming Cognition，1999）。
数学代表了人类有史以来最深刻、最美丽的想象力。然而，在非数学家眼中，数学的许多美妙和玄奥之处非常难以理解，因为数学的大部分认知结构都无法被描述出来。到目前为止，哪怕是很多接触过良好教育的人，也难以理解大学数学的种种基本概念，它们显得如此费解、神秘和矛盾。我们相信，认知科学常常能够消弭悖论，揭开神秘的外衣，并充分清晰揭示这些观点的璀璨之处。要做到这一点，我们的研究必须揭示出数学如何建立在“具体化”之上，以及概念隐喻如何构建了数学理念。
许多数学上的困惑、谜团和表面上的悖论之所以出现，是因为在数学里，那些原本术语概念隐喻的部分不被认为是隐喻，而被当作显意。当数学概念的全部隐喻性特征被揭示出来时，这种困惑和悖论就消失了。
可是，概念隐喻本身并没有消失。概念隐喻不能被拆解掉。隐喻是数学理念的一个重要组成部分，而不仅仅是用于形象化（visualization）或易于理解的辅助机制。
请大家想一想数轴的隐喻（直线是由无数个点组成的集合，实数包括正实数、零、负实数也有无数个。正因为它们的这个共性，所以用直线上无数个点来表示实数）。实数不一定要被概念化为直线上的点，有些实数的概念并不遵循几何学。但数轴是所有数学中最核心的概念之一，没有它，解析几何就不会存在，三角函数也不会存在。
或者，我们想想数学中“集合”的隐喻，它是20世纪初数学基础（Foundations）运动的核心。我们不需要把数字概念化为集合。算术存在了两千多年，也没有用过这个隐喻，两千多年来都没有把“0”概念化为空集（1是包含空集的集合，2是包含0和1的集合，以此类推）。但是，如果我们使用了这个隐喻，那么集合的推理形式也可以适用于数字。只有借助于这个比喻，经典的数学基础才能存在。
这意味着隐喻不只是一种语言现象（一种单纯的言语形象）。相反，它是一种隶属于思想领域的认知机制。我们将在这本书的后半部分提到，“概念隐喻”有一种技术含义。它是一种广泛的“推理跨域映射”。或者是，它是一种神经机制，它允许我们使用一个概念域（conceptual domain，比如说几何）的推理结构来推理另一个概念域（比如说算术）。这样的概念隐喻让我们能够运用我们对一个数学分支的了解来推理另一个分支。
概念隐喻使数学变得非常丰富。但如果隐喻带来困扰，或者把隐喻当成显意的真理来对待，那么它也会带来混乱和悖论。“0”是直线上的一个点吗？还是空集？或者两者都是？或者说，它只是一个“数”，既不是一个点也不是一个集合？这些问题没有统一的答案。每一种答案都构成一种隐喻的选择，而每一种隐喻的选择都给出了不同的推论，并决定了不同的主题。
我们会看到，数学是层层包裹的隐喻。当一个数学理念包含了十几个隐喻时，认知科学家的工作就是把它们分开，以揭示其潜在的认知结构。
这是一项具有内在科学意义的任务。但是，它也可以在数学教学中得到重要的应用。我们相信，揭示数学的认知结构会使数学更容易被理解和接受，因为这些隐喻都基于常见的经验，使用这些隐喻的数学理念在很大程度上可以用日常用语来理解。
数学认知科学提出的问题是数学没有对自己提过的问题，也不可能对自己提出。我们如何用我们的日常概念工具来理解诸如无限、0、线、点和集合等基本概念？我们如何理解那些对初学者来说自相矛盾的数学概念，诸如空间填充曲线（space-filling curves）、无穷小量（infinitesimal）、无穷远点（point at infinity）和非良基集合（non-well-founded sets，指“包含自身”的集合，即x∈x成立）？
举个例子。比方说，大家想想欧拉方程（Euler equations），这是数学中最深远的方程之一。e是自然常数，是“自然对数InN的底数”，是一个无限不循环小数，e=2.718281828…这个数字经常出现在大学课堂的初级课程中。但它到底是什么意思？
我们都知道，“q的n次方”的指数意味着数字q乘以自身的n倍，也就是q·q·...·q。比如，“2的5次方“是5个2相乘，结果是32。但是这个指数的定义对“e的iπ次方”来说毫无意义。这里至少有三个谜团：
1. 像e这样的无限不循环小数乘以它本身意味着什么？如果你把乘法看作是一种算法操作，你通常从右边的最后一个数字开始进行乘法运算，但在无限小数中没有最后一个数字。
2. 任何数字乘以自己的π倍意味着什么？ π是另一个无限不循环小数。进行一个运算“π次”可能意味着什么？
3. 更严峻的问题是，一个数乘以其本身的虚数（√-1，参阅笛卡尔《几何学》[La Géométrie, 1637]）意味着什么？
但是，根据上图方程变换可得，“e的iπ次方”等于“-1”。这里无法诉诸惯常的证明。我们通过公式变化可以得到“e的iπ次方”等于“-1”的答案，却没有告诉你自然常数e是什么意思！我们将在这本书中解答这个问题。
这本书和其他大部分数学著作不同。我们不仅关心“什么为真”，探讨数学理念的含义——如何理解它们，以及为什么它们为真。我们还将从数学思维的角度关注数学真理的性质。
无限（infinity）的概念是我们的关注核心之一。“无限”有各种表现形式——无限的集合、数、数列、点、小数。此外，“空间填充曲线”这样的概念也关乎无限（因为它是一种把N维空间数据转换到一维连续空间上的映射函数）。但是，除了上述种种“无限”的特例，还有一种单一的、关于无限的基础隐喻。这个隐喻源于数学之外，但它似乎是我们在几乎所有数学领域内理解无限的基础。当我们理解了无限的基础隐喻，也就理解了许多数学的玄奥，那些看起来难以理解的东西就变得相对容易理解了。
我们的研究结果不属于数学，而是属于数学的认知科学研究。它们是关乎人类概念系统的成果，它们使数学思维成为可能，并使数学具有意义。大体上，认知科学研究的成果并不反映数学家们有意识的思想；反而，这些成果反映了从事数学研究的人离不开的无意识概念系统。我们的研究成果不应该以任何方式改变数学，但它们可能从根本上改变人们对数学的理解方式以及对数学结果的理解。
我们会提出一些令读者吃惊的结论。这里举几个例子：
1. 符号逻辑不是所有理性的基础，它也不是绝对的真理。它是一套美丽的隐喻系统，包含一些相当怪异的隐喻。对某些目的来说，这套隐喻系统很有用处，但倘若要描述所有人类理性机制，这套隐喻系统相当不够。
2. 实数并没有“填充”数轴，还有一个被称为“超实数”（hyperreal numbers）的数学主题。
3. 函数连续性的现代定义，以及所谓的“连续统”（continuum），并没有使用通常理解的连续性概念。
4. 所谓“空间填充曲线”并没有“填充”空间。
5. “0.99999…”的无限小数是否等于1？这个问题没有绝对“是”或“否”的答案。答案取决于人们选择的概念系统，可以等于1，也可以不等于1。
这些不是新的数学发现，而是理解众所周知的数学结果的新方法。它们是数学认知科学的发现，关乎数学的概念结构和思维在创造数学主题方面的作用。
虽然我们的研究并不影响数学结果本身，但它确实会对数学结果的理解和许多数学家的主张产生影响。我们的研究对数学哲学（philosophy of mathematics）也很重要。我们在这本书中描述的数学思维与任何现有的数学哲学都不相同，不同于柏拉图主义、直觉主义（intuitionism）和形式主义（formalism）。它也不认同近来后现代主义者把数学视作一种纯粹的社会建构（social construction）的做法。
基于我们的发现，我们将对数学哲学提出一种非常不同的方法。我们认为，数学哲学应该与人类唯一知道、能够知道的数学科学一脉相承。我们将在第五部分论证，“具体数学”的理论定义了一种基于经验的数学哲学。这也和我们之前提出的“具体现实主义”（embodied realism）和“生态自然主义”（“具体化”的基础）一脉相承。
我们所知的数学是人类的数学，是人类思维的产物。数学从哪里来？它来自于我们！我们创造了它，但它不是历史上偶然、任意和纯粹的社会建构。数学的非任意性在于它使用了体现人类思维的基本概念机制，它是在现实世界中发展起来的结果。数学源于我们大脑的神经能力和身体的性质、我们的进化、我们的环境，以及我们漫长的社会和文化历史。当你读完这本书时，你就明白我们为什么这么说了。
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